Tema3:
El cálculo en la enseñanza Primaria. La adición y la sustracción.
1.-
Introducción. – 2.-
Contar y calcular.- 3.-
La transición de lo informal a lo formal en las operaciones. 4.-
Adición
de números naturales. 5.-La
sustracción de números naturales 6.-
El campo conceptual de las estructuras aditivas.- 7.-
El
significado de las operaciones. Los problemas aditivos y
sustractivos. 8.-
La
enseñanza de los algoritmos de la adición. 9.-
La enseñanza de los algoritmos de la sustracción.
10.- Errores
en la ejecución de algoritmos escritos de suma y resta. 11.-
Uso
de la calculadora en la solución de problemas aditivos. 12.-
Materiales
para trabajar la adición y la sustracción.
Los siguientes
ejercicios aparecen en libros de E. Primaria, indica qué contenidos
se trabajan y a qué nivel o niveles pueden corresponder
1
2
3
4
Escribe
en columnas y haz las sumas:
a)
36 + 22 b) 307+33 c) 402 + 19
Escribe
en columnas y efectúa las restas:
a)
48 -25 b) 378 – 72 c) 54 -8
5
6
Mi abuelo tiene 68 años y mi
madre tiene 36 años menos, ¿qué edad tiene mi madre?
7
Busca los sumandos que
faltan:
a)
35 + 60 = 60 +…… b) …. + 325 = 325 + 416
8
Inventa
una suma y una resta que den como resultado 1 centena de millar:
- - - - -
- - - - - -
+ - - - -
- - - - - - -
9
Forma
parejas que sumen la cantidad
indicada
en la casilla coloreada
10
Patricia
mide 15 cm. más que su hermano Pedro y 5 cm. menos que su hermano
Juan.
¿Qué
diferencia hay entre la altura de Pedro y Juan?
11
Completar la
suma y la resta “con huecos” siguientes:
a)
(3 _ 5) + ( _ 5 _ ) = 764
b)
(_ _ 5) – (45_ )=346
En
nuestra sociedad, ordinariamente, se identifica el cálculo con los
conocimientos matemáticos. El desarrollo de las habilidades de
cálculo es muy importante desde el punto que uno de los grandes
objetivos de la enseñanza elemental de las matemáticas es el de
enseñar a resolver problemas. Y el cálculo es una de las grandes
herramientas que nos ofrecen las matemáticas para ese fin.
Por
otra parte, aprendizaje de los procedimientos de cálculo tiene mucho
que ver con el desarrollo de la Inteligencia Lógico-numérica.
Entendiendo por inteligencia lógico numérica como la habilidad para
entender y trabajar con números, es decir con lógica
También
hemos de prestar atención al aprendizaje de más de un algoritmo de
cálculo, que llevará a una mejor comprensión y utilización de las
operaciones.
Contar
y
calcular
son maneras distintas de establecer relaciones entre cantidades.
Contar
es
establecer una relación entre elementos de una colección y
palabras-número. Cuando contamos no lo hacemos con un solo
propósito, sino que se hace con varios sentidos. Algunos de ellos
son:
- comparar,
- ordenar,
- igualar,
- sumar y
- comunicar
El
proceso de contar,
según hemos visto, es complejo ya que requiere:
- conocer la serie numérica o parte de ella,
- establecer la relación biunívoca, uno a uno. entre los elementos a contar y las palabras-número,
- identificar el último término enunciado como representante de la cantidad
Calcular
es establecer una relación directa entre cantidades, sin pasar por
la construcción de colecciones, cuyos elementos se cuentan.
Establecer
relaciones entre cantidades a través del cálculo requiere mayores
niveles de abstracción porque exige separarse del apoyo concreto de
las colecciones utilizando formas numéricas con cierto grado de
simbolización.
Existen
diversas formas de calcular que nos permiten obtener los resultados
deseados:
- cálculo pensado, que no utiliza algoritmos
- cálculo sistemático o algorítmico
- cálculo probabilístico, que no es un cálculo exacto.
Por
eso, cuando hablamos de técnicas de cálculo, no hemos de pensar
sólo en los algoritmos que, por supuesto han de aprender los
alumnos, hemos de pensar también en técnicas artesanales, en lo que
hemos dado en llamar, la cuenta de la vieja, que dan significado a
las operaciones y nos ayudan al cálculo pensado, mental o escrito.
Hay
que tener en cuenta que cada técnica de cálculo ha de hacer uso de
otros conocimientos de cálculo previos:
- en primer lugar el aprendizaje de las tablas de las operaciones. Porque estos resultados de operaciones se han de reproducir con cierta rapidez, para que las técnicas se puedan ejecutar de manera automática. Ahora bien, tendremos que sacar partido al aprendizaje de las tablas, dotándolo de significado para el alumno.
- También deberá aprender los algoritmos del cálculo, y el por qué tiene que hacer uso de esas técnicas que aprende; si no, hará un aprendizaje vacío de significado y de dudosa utilidad.
Hemos
de intentar proveer al alumno de los conocimientos necesarios para
que pueda decidir y ejecutar de forma autónoma el tipo de técnica
que mejor se adapte a la situación particular que le exija la
realización de un cálculo. Para ello, se deberá trabajar en la
escuela los distintos tipos de cálculo: escrito, mental y con
calculadora.
Las
acciones que los niños, en su vida cotidiana, llevan a cabo y que
son susceptibles de ser matematizadas tienen una dimensión de
matemática llamada INFORMAL. A la hora de iniciar a los alumnos en
las operaciones básicas de cálculo, el primer problema que se debe
plantear es llegar desde las experiencias informales a las
formalizaciones.
Hay
que tener presente la diferencia cualitativa que existe entre una
acción concreta, rica en acontecimientos para el niño,
desarrollándose en el tiempo y en el espacio, y la traducción
simbólica de esa acción en signos despojados de todo valor
afectivo. Por ello, la operación escrita tiene que ser una
traducción de hechos con sentido, y se debe preparar siguiendo unos
escalones o grados que permitan su completa comprensión.
Para
el tratamiento de lo informal y su paso a lo formal debemos tener en
cuenta lo siguiente:
- Es conveniente desarrollar una base sólida de comprensión informal antes de introducir símbolos escritos.
- Es preciso que se estructuren amplias experiencias informales de cálculo. Ello va a requerir un periodo largo de tiempo que se debe prever.
- La organización de la enseñanza formal debe realizarse de manera tal que aproveche al máximo el conocimiento informal que tienen los niños de las cuestiones de que se trate.
- Se debe ayudar a los niños a que vean el simbolismo formal no como algo distinto y separado de sus experiencias, sino como una expresión explícita de sus conocimientos informales.
La
adición de números naturales es una ley de composición interna, es
decir, es una aplicación de NxN en N. Es decir, la suma de dos
números naturales es otro número natural.
NxN
N
(a,b)
a + b = c
Propiedades
1.
Asociativa:
La adición de números naturales es asociativa, es decir:
x, y, z
N (x + y) + z = x + (y + z)
2.
Conmutativa:
La adición de números naturales es conmutativa, es decir:
x, y
N x + y = y + x
3.
Elemento
neutro:
El elemento neutro de la adición de números naturales es el cero:
x
N x + 0 = x
4.
Propiedad
cancelativa o de simplificación:
a, b, c
N : a + c = b + c
a = b
Nota:
Como consecuencia de la propiedad asociativa y conmutativa, al sumar
tres números naturales se tiene:
(a
+ b) + c = a + (b + c) = (b + c) + a = b + (c + a) =….
Lo
que nos indica que en cualquier forma y orden en que se realicen las
operaciones, el resultado es siempre el mismo. Por tanto no hay que
especificar con paréntesis el orden en que hay que realizar las
operaciones. Esto mismo es válido para cualquier número de
sumandos.
Sustracción
de dos números naturales, llamados respectivamente minuendo(m)
sustraendo(s), es una operación que tiene por objeto hallar un
tercer número, llamado diferencia(d), que sumado con el sustraendo,
dé el minuendo, o sea:
m -s
= d
m = s + d
m - d = s
Estas
son las equivalencias fundamentales de la sustracción. Dada una
cualquiera de las tres igualdades, pueden hallarse inmediatamente las
otras dos. De estas equivalencias se deducen las reglas de
transposición de términos en una expresión numérica: “Un
término que está sumando en un miembro, pasa al otro restando; y un
término que está en un miembro restando pasa sumando”.
La
sustracción es la operación inversa de la adición.
Propiedades
1.
No es ley de composición interna:La sustracción solo está definida
en N cuando el minuendo es mayor o igual que el sustraendo, por tanto
no es una ley de composición interna.
2.
Propiedad uniforme: a = a´
a - b = a´- b´
b = b´
Es decir, si restamos
miembro a miembro dos igualdades entre números naturales obtenemos
otra igualdad.
2.
No es conmutativa: Si a – b = d
N, b – a no existe en el conjunto de los números naturales. (a
b)
3.
No es asociativa: Lo vamos a comprobar con un contraejemplo: ( 12 –
5) – 3 = 4
12 – ( 5 – 3) = 10
4.
a
N a -a =0
5.
Si aumentamos el minuendo en una cantidad a, la diferencia queda
aumentada en esa misma cantidad.
m
- s = d
(m + a) - s = d + a
6.
Si al minuendo lo disminuimos en una cantidad a, la diferencia queda
reducida en esa misma cantidad a.
m
- s = d
(m - a ) - s = d - a
7.
Si aumentamos el sustraendo en una cantidad a, la diferencia queda
reducida en esa misma cantidad a.
m
- s = d
m - (s + a) = d - a
8.
Si disminuimos el sustraendo en una cantidad a, la diferencia aumenta
en esa misma cantidad.
m
- s = d
m - ( s - a) = d + a
9.
Si se suma o se resta al minuendo y al sustraendo una misma cantidad
a la diferencia no varía.
m
- s = d
(m + a) - (s + a) = d
(m - a) - (s - a) = d
- En esta última propiedad se basa el método “austríaco” para la resta.
- Esta propiedad es muy útil en el cálculo mental, ya que permite redondear el sustraendo, lo que hace el cálculo más simple.
Ejemplo: 35-18 =
(35+2) –(18+2) = 37-20=17.
Definición:
Se
considera un campo conceptual como un «conjunto de situaciones
problema cuyo tratamiento implica conceptos, procedimientos y
representaciones simbólicas en estrecha conexión»
En
el campo conceptual de las estructuras aditivas vamos a estudiar
problemas aritméticos adaptados al modelo : a+b=c.
Se trata de problemas que cubren relaciones muy diferentes, desde las
más simples y elementales, con las que inicialmente se encuentran
los niños de 5 a 7 años, a las más complejas, cuya comprensión no
la alcanzan hasta los 14 o 15 años.
Se
clasifican ahora las relaciones de base, a partir de las cuales es
posible engendrar los problemas de adición y sustracción de la
aritmética ordinaria, que forman parte del campo conceptual de las
estructuras aditivas.
Las
que siguen son las categorías que propone Vergnaud (1991) para
analizar los problemas aditivos y sustractivos
1.- Composición
de dos medidas en una tercera
|
Pablo tiene 6
canicas de vidrio y 8 de
acero. En total 14 canicas.
Ecuación: 6+8=14
|
2.-
Transformación (cuantificada) de una medida inicial en una medida
final.
|
Pablo tenía 7
canicas antes de comenzar a jugar. Ganó cuatro canicas. Ahora
tienen 11
Ecuación: 7+(+4)=11
|
3.- Relación
(cuantificada) de comparación entre dos medidas.
|
Pablo tiene 8 canicas. Jaime 5
menos; entonces tiene 3.
Ecuación:
8+(-5)=3
|
4.- Composición
de dos transformaciones
|
Pablo
ganó 6 canicas ayer y hoy perdió 9. En total perdió
Ecuación:
+9+(-3)=(+6)
|
5.-
Transformación de una relación
|
Pablo
le debía 6 canicas a Enrique, le devuelve 4. Sólo le debe 2.
Ecuación:
(-6)+(+4)=(-2)
|
6.- Composición
de dos relaciones
|
Pablo le debe 6 canicas a Enrique, pero Enrique
le debe 4. Pablo le debe entonces
sólo 2 canicas a Enrique.
Ecuación:
(-6)+(+4)=(-2)
|
Si
preguntamos a cualquiera “qué es sumar”, de una u otra manera,
es fácil que se nos: “juntar y contar”.
Pues
bien, si juntamos y contamos, lo que estamos evitando precisamente es
sumar.
La
operación no puede concebirse sólo para describir una situación,
como hemos dicho más arriba, es una herramienta que sirve para
anticiparse a la realidad en varios contextos. Por tanto, para que el
niño adquiera el significado conceptual de las operaciones se habrá
de construir a partir de una propuesta de diferentes contextos, en
los que la operación cobre su verdadero sentido.
Ejemplo:
«Antonio
tiene seis años más que Manuel. Si Manuel tiene 5 años, ¿cuál es
la edad de Antonio?»
Aunque
tengamos que sumar para poder obtener el dato que se nos pide, no
podemos decir que hemos juntado años.
Cuando
estudiamos un problema hemos de tener en cuenta dos aspectos.
- la estructura matemática o relacional de la resolución y
- las características de la formulación del enunciado.
Nos
fijamos ahora en el primer
aspecto, para la suma.
Lo
primero a tener en cuenta es que la adición y la sustracción no
pueden ser tratadas separadamente, pues las dos están incluidas en
el mismo campo conceptual, por lo que las situaciones que componen el
concepto de adición y sustracción, son las mismas.
- Tipo I. Problemas de composición de medidas.
Surgen
de la relación base 1ª: Composición
de dos medidas en una tercera
Son
problemas en los que dos medidas se combinan para obtener una
tercera:
Plantean
una situación como ésta: Tenemos
una bolsa con 13(m1)
caramelos de fresa y 8(m2)
de limón. Tenemos por tanto 21(M) caramelos.
Esta
situación da lugar a dos subtipos de problemas: según se pregunte
por el total o por uno de los componentes.
-
«En un aparcamiento hay coches rojos y azules. Si hay 13 rojos u 6 azules, ¿cuántos coches hay»Es el tipo de problema que plantea la adición por primera vez a los niños, desde la misma construcción del número natural.«De los 23 alaumnos de mi clase, 9 son niños. ¿Cuántas niñas hay?La situación es muy similar a la anterior y no presenta dificultades para entenderla. Sin embargo su solución canónica hace uso de una sustracción. Ahora bien, la similitud con el problema anterior permite «prestar» su estrategia de resolución adaptándola, presentando una adición «con huecos»
Entendemos
por solución canónica la que conlleva los procesos más económicos,
lo que no quiere decir que sean los más simples desde el punto de
vista cognitivo.
- Tipo II. Problemas de transformación de medidas.
Son
problemas en los que se plantean situaciones en las que una medida m
se modifica en el
transcurso de un tiempo. Llamamos mi
a la medida inicial y mf
a la medida final
Ejemplo:
La caja de bombones tenía
28 bombones. Nos hemos comido 12, quedan 16.
Esta
situación da lugar a seis subtipos de problemas diferentes, teniendo
en cuenta que se puede preguntar por la , la o bien el tiempo t,
y éste considerado hacia delante y hacia atrás.
|
Incógnita
Estado
final: mt
|
Incógnita
Transformación:
t
|
Incógnita
Estado
inicial: mi
|
t+
|
Ej.
1
Eva
va a hacer 27 fotocopias. Cuando va a empezar, el contador de la
máquina, marca 335. ¿Cuánto marcará el contador al terminar?
|
Ej.
2
Enrique
tiene 75 globos. Se ha comprado una bolsa y ahora tiene 96.
¿Cuántos globos tiene la bolsa?
|
Ej.
3
El
último censo de mi pueblo asegura que somos 3.546 habitantes. Si
ha crecido 348 en el último año, ¿cuántos habitantes tenía
hace un año?
|
t-
|
Ej.
4
Yo
tenía 25 canicas en mi colección y he regalado 12. ¿Cuánto
tengo ahora en mi colección?
|
Ej.
5
Manuel
acaba de jugar a las canicas. Tenía 24 antes de jugar y ahora
tiene 18. ¿Cuántas ha perdido)
|
Ej.
6
José
ha sacado de su cuenta corriente 350 euros para realizar unas
compras. Si después le quedan 1.625 euros en la cuenta, ¿cuántos
tenía antes?
|
La
dificultad de estos problemas puede venir de una parte del tamaño
de los números y de la familiaridad que el alumno tenga con el
contexto, pero, a su vez, del propio subtipo. El razonamiento puesto
en juego en los tipos de los Ejercicios 1 y 4 es más sencillo que el
de los restantes.
- Tipo III. Problemas de comparación de medidas.
Son
problemas en los que se establece una comparación , en términos
aditivos de las cantidades.
Ejemplo:
Tengo 15 años y mi hermana 3 menos. Ella tiene 12 años
Esta
situación también da lugar a 6 subtipos de problemas, según
preguntemos por
- una comparación positiva o negativa
- la cantidad más grande o más pequeña
- por la comparación
|
Incógnita
mp
|
Incógnita
Comparación:
c
|
Incógnita
mg
|
c+
|
Ej.
1
Mi
hermana que es muy generosa decidió regalarme 5 euros cuando
abría mi hucha.. Cuando conté el dinero tenía 65 euros. ¿Cuánto
tenía yo en mi hucha
|
Ej.
2
Ana
ha gastado 35 céntimos en golosinas e Irene 15 céntimos.
¿Cuántos más ha gastado Ana que Irene?
|
Ej.
3
María
Juega a los cromos en el recreo. Cuando salió al recreo tenía 37
cromos y ha ganado 13. ¿Cuántos cromos tiene al regresar a
clase?
|
c-
|
Ej.
4
Cuando
abrí la bolsa de caramelos que me habían regalado, le di 6 a mi
hermano yo me quedé con 24. ¿Cuántos caramelos tenía la bolsa?
|
Ej.
5
Juan
es amante de la natación y entrena todos los días. El mes pasado
tardaba 20 segundos en hacer 50 metros. Este mes tarda 112
segundos en hacer 50 metros. ¿Cuánto segundos menos tarda este
mes?
|
Ej.
6
José
tiene 52 caramelos, 8 menos que María ¿Cuántos tiene María?
|
- Tipo IV. Problemas de composición de transformaciones.
Son
problemas en los que dos transformaciones se componen en una tercera
resultante de las otrs dos.
Ejemplo:
Pedro tiene una hucha con
dinero. Esta mañana sacó 18 euros para comprar un libro. Por la
tarde metió 15 euros que le dio su tía. El balance final del día
es una disminución de 3 euros en la hucha.
Esta
situación da lugar a muchos subtipos de problemas, de pendiendo de
que la incógnita sea:
- una transformación o la resultante
- el signo de las transformaciones
- que las dos transformaciones sean del mismo o de distinto signo.
Muchos
de los problemas aditivos resultan de la combinación en un único
enunciado de varios tipos de problemas. Para resolverlos se han de
descomponer los procesos del enunciado en los problemas simples que
lo integran.
Tradicionalmente
el aprendizaje del cálculo aditivo y sustractivo se realiza de
manera separada. Esto puede tener ventajas en el comienzo del
aprendizaje para resolver algún tipo de problemas, pero no es muy
ventajoso desde el punto de vista conceptual.
Las
primeras técnicas que el niño usa para obtener resultados de
problemas aditivos están relacionadas con el conteo. Esta técnica
aparece ya en la construcción del número. Estas técnicas son:
- sobreconteo. Es la primera técnica para sumar. Consiste en ir contando a partir de un número tantas veces como indique el otro que queremos sumar. Así para obtener 8+4, contamos «9, 10, 11, 12», (cuatro más a partir del 8)
- deconteo. Es la técnica para restar, conteo similar al anterior pero contando hacia atrás: para calcular 8 – 3 contamos «7,6,5»,
- doble conteo o sobreconteo. Es una técnica más compleja y consiste en llevar dos conteos paralelos. Para obtener 13 + 9 contamos 14(1), 15(2), 16(3), .....,20(7), 21(8) y 22(9). Contamos a partir de 14 y en paralelo contamos a partir del 14 y en paralelo contamos del 1 al 9. El número que enunciemos junto al 9 será el resultado buscado.
Es
muy interesante tener en cuenta los consejos de Alberto Coto, campeón
mundial en cálculo mental y que nos dice por qué calcular bien es
tan importante. Se han llevado a cabo estudios psicológicos con
alumnos , cuya conclusión pone de relieve que los que tienen una
mayor agilidad mental con los números también establecerán
combinaciones y relaciones numérico-matemáticas cada vez más
complejas.
Un
buen dominio del cálculo aportará, por otra parte, una mayor
seguridad psicológica y conduce a una toma de decisiones más rápida
y eficaz, fortaleciendo la mente de manera notable. Las técnicas
sencillas para realizar los cálculos mentales o cálculo pensado,
nos proporcionan agilidad mental y fortalecen las conexiones
neuronales, ayudándonos a tener una buena rapidez de pensamiento y a
tomar las mejores decisiones en cada momento.
Por
tanto, los algoritmos de cálculo, puesto que son automatismos, deben
trabajarse en la Primaria, pero junto a otras técnicas artesanales o
informales a fin de obtener diversos automatismos mentales que
permitan resolver de manera autónoma los problemas.
Básicamente
todas las técnicas de Cálculo tienen un esquema común, disponen de
un repertorio de resultados previo, y, cuando van a obtener un
resultado que no está en dicho repertorio, transforman los números
hasta que pueden utilizar el repertorio.
Así,
para realizar la adición 35+41 según nuestra técnica usual, se
necesita conocer previamente los resultados 3+4=7 y 5+1=6.
De
esta manera procedemos:
35
30+5 30+5
+
+ +
41
40+1 40+1
70+6
3+4
=7 5+1=6
De
aquí que las actividades que se propongan en el aula estén
encaminadas a establecer, aumentar, y estructurar un repertorio de
resultados aditivos y. por supuesto, que este repertorio es el mismo
para los casos de sustracción.
Este
repertorio es el conocimiento clásico de las tablas y es bueno que
aprenda las tablas, no sólo por lo que ya se ha dicho, sino porque
el ejercicio de la memoria es muy importante, imprescindible.
Lo
que no es bueno es que al alumno memorice las tablas únicamente en
la forma tradicional. Es bueno que aprenda las tablas, también en
otras formas, para las que, además, tiene que usar las estructuras
de los números y la íntima relación que existe entre la adición y
la sustracción,
Hay
que recomendar al alumno que cuando mire las tablas lea y calcule a
la vez, puesto que la práctica es lo que hace que se queden grabadas
en la mente. Además es muy importante que los alumnos jueguen con
los números; aunque no estén viendo las tablas se las han de
imaginar y hacer los cálculos.
Si
siempre presentamos las tablas en un sentido, y únicamente las
memorizan así, fácilmente tendrá problemas.
-
Tabla del 1
Tabla del 2
Tabla del 3
Tabla del 4
Tabla del 5
Tabla del 6
Tabla del 7
Tabla del 8
Tabla del 9
1+0=11+1=21+2=31+3=41+4=51+5=61+6=71+7=81+8=91+9=10
2+0=22+1=32+2=42+3=52+4=62+5=72+6=82+7=92+8=102*9=11
3+0=33+1=43+2=53+3=63+4=73+5=83+6=93+7=103+8=113+9=12
4+0=44+1=54+2=64+3=74+4=84+5=94+6=104+7=114+8=124+9=13
5+0=55+1=65+2=75+3=85+4=95+5=105+6=115+7=125+8=135+9=14
6+0=66+1=76+2=86+3=96+4=106+5=116+6=126+7=136+8=146+9=15
7+0=77+1=87+2=97+3=107+4=117+5=127+6=137+7=147+8=157+9=16
8+0=88+1=98+2=108+3=118+4=128+5=138+6=148+7=158+8=168+9=17
9+0=99+1=109+2=119+3=129+4=139+5=149+6=159+7=169+8=179+9=18
Pero
es muy conveniente manejar tablas que consisten en buscar todas
aquellas combinaciones que nos den sumadas ese número.
-
8
11
13
15
17
10
9
14
0+81+72+63+54+45+36+27+18+0
0+111+102+93+84+75+66+57+48+39+210+111+0
0+131+122+113+104+95+86+77+68+59+410+311+212+113+0
0+151+142+133+124+115+106+97+88+79+610+511+412+313+214+115+0
0+171+162+153+144+135+126+117+108+99+810+711+612+513+414+315+216+117+0
0+101+92+83+74+65+56+47+38+29+110+0
0+91+82+73+64+55+46+37+28+19+0
0+141+132+123+114+104+96+87+78+69+510+411+312+213+114+0
De
paso, en estas tablas, su puede visualizar la propiedad conmutativa
de la suma de números naturales.
Sería
conveniente que antes de acometer el aprendizaje de la tabla, o en
grado de simultaneidad graduada, trabajar la descomposición de
números.
Para
el aprendizaje racional de la tabla proponemos seguir el siguiente
proceso:
1º
Cada niño debe tener una tabla de doble entrada vacía y debe haber
otra de gran tamaño en la clase. Esta tabla se irá rellenando con
las sumas aprendidas. Las sumas deben ir realizándose en un entorno
de resolución de problemas.
2º
La propiedad conmutativa, descubierta utilizando materiales
manipulativos, reduce a la mitad la construcción de la tabla.
3º
Se completan las sumas en las que uno de los sumandos es cero.
4º
La suma de uno se basa en la progresión numérica: “el siguiente
de...”
5º
A continuación se puede completar la familia
de diez. Tenemos ya casi la
mitad de la tabla.
6º
Tras la familia del diez conviene iniciar la familia
del nueve, ya que sumar
nueve es como sumar diez, pero quitando uno.
7º
La familia del dos
es fácil, pues recuerdan el contar “salteado"
8º
A continuación se introduce la familia
de los dobles. La suma de
dobles se les da bien a los niños.
9º
La familia de los vecinos de
los dobles son diez
combinaciones formada por todas las parejas cuya diferencia es uno.
La estrategia es muy sencilla, el resultado es el doble del número
mayor, pero quitándole uno.
10º
La familia del número
misterioso abarca ocho
combinaciones, en las cuales los números que las componen se
diferencian en dos . La solución es el doble del número que está
en medio de los dos.
11º
La familia de los
complementarios a diez ,
solo quedan dos combinaciones 7 + 3 y 3 + 7 . Pero es conveniente
introducir esta estrategia como camino alternativo en otras
combinaciones.
12º
Quedan diez combinaciones para las que se pueden utilizar distintas
estrategias. Por ejemplo: 8 + 5 = (8 + 2) + 3
a.-
Descomposición de la decena, y centena
Es
especialmente útil la adquisición del repertorio correspondiente a
las descomposiciones alternativas de 10 y 5. Al ser decimal nuestro
sistema de numeración, conocer los complementos hasta 10, va a
facilitar la obtención de determinados resultados.
8+7 =
8+2+5 = 10+5 = 15
Igualmente
el trabajo con complementos de decenas, centenas u otras unidades
completas permite automatizar un repertorio que será de gran
utilidad en en otros tipos de cálculo, así como en situaciones de
cálculo aproximado
Es
obvio que las técnicas de cálculo están íntimamente ligadas al
aprendizaje de los sistemas de numeración. Las actividades que
requieran agrupamientos recursivos decimales, o bien con ábacos, son
utilizables para el aprendizaje de las técnicas de adición y
sustracción. Gran parte de las dificultades que genera la
comprensión de estas técnicas son debidas al mal aprendizaje del
significado del valor de posición de las cifras.
Por
ello se deben plantear situaciones en las que se trabajen técnicas
como ésta:
48
+ 76 = 40 +8 + 70 + 6 = 40 + 70 + 8 +6 = 110 + 14 =
100
+10 + 10 + 4 = 100 + 20 + 4 = 124
Estos
cálculos cuando se alargan se pueden esquematizar también, si ello
facilita su comprensión:
48
+ 76
40
+ 8 + 70 + 6
110
+ 14
100
+ 10 + 10 +4
100
+ 20 + 4
Es
interesante, pues, hacer actividades sobre el repertorio de sumas que
los alumnos conocen, pero con múltiplos de 10. Se trata de poner de
manifiesto la facilidad de operar con números como 10, 20 50, 70,
200, 400, 500, de modo que el alumno pueda razonar:
Si
6 + 7 = 13, entonces 50 + 70 = 130
b.-
El aprendizaje ordenado de la suma de diferentes números de dígitos
En
estos casos tiene grandes ventajas la suma de izquierda a derecha,
aunque habitualmente aprendamos a sumar de derecha a izquierda.
Las
ventajas de hacer las sumas de izquierda a derecha son
fundamentalmente dos:
- Por un lado, no tenemos que llevar en cuenta el resultado de las unidades.
- Y, aunque no diésemos el resultado correcto, siempre será mucho más fácil dar una aproximación si lo hacemos de izquierda a derecha, puesto que hacer aproximaciones de los resultados es importante muchas veces.
- Dos dígitos + dos dígitos.
Lo
vemos con ejemplos:
55
+ 44 = 55 + (40+4) = (55+40) + 4 = 95 + 4 = 99
72
+ 45 = 72 + (40+5) = (72+40) + 5 = 112 + 5 = 117
Esto
es más fácil de hacerlo mentalmente que escribirlo. El pensamiento
lo que hace es, en el caso de 55 + 44 Nos hemos quedado con 55 y
descomponemos 44 en 40 + 4
55+40
= 95 ; 95+4 = 99
- Tres dígitos + dos dígitos
Sumamos
433 + 56
Nos
quedamos con 433 y descomponemos 56 en 50 + 6.
Ahora
sumamos 433 + 50 = 483 y seguidamente sumamos 483 + 6= 489
- Tres dígitos + tres dígitos
Hacemos
de forma análoga, descomponiendo uno de los números una vez más.
Sumamos
628 + 337
Nos
quedamos con 628 y descomponemos 337 = 300 + 30 + 7 y seguidamente
hacemos las sumas parciales: 628 + 300 = 928; y seguimos 928 + 30 =
958; y finalizamos
958
+ 7 = 967
De
paso esto nos da pie para proponer a los alumnos ejercicios de este
tipo con la finalidad de familiarizarlo con las propiedades de las
operaciones; en este caso, las propiedades conmutativas y asociativas
de la suma de números naturales.
- Otros buenos ejercicios para hacerlos mentalmente.
- Sumar números consecutivos
Una
gimnasia mental muy efectiva es sumar
números consecutivos:
1
+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + .. que van dando los
siguientes resultados:
1
– 3 – 6 – 10 – 15 – 21 – 28 – 36 – 45 – 55 – 66 –
78 – 91 – 105 - ….
- Doblar números mentalmente
Pensamos
un número cualquiera lo doblamos y, consecutivamente doblamos los
resultados:
3
– 6 – 12 – 24 – 48 – 96 – 192 – 384 – 768 – 1536 –
3072 - ….
Observemos
que siempre se trata de transformar los cálculos en otros más
sencillos, de cuyos resultamos disponemos.
Aunque,
según hemos dicho, desde el punto de vista matemático, sumar no es
exactamente “juntar y contar”, es cierto que sumar, unir,
agregar, es algo que está en la naturaleza misma y en nuestro
quehacer cotidiano, Así que se han de proponer a los alumnos
actividades en las que las escrituras aditivas y, en su caso, las
sustractivas, sirvan para discutir o simbolizar la realidad, y para
que sirvan, a su vez, como instrumentos para pensar. Con esto se
pretende un doble objetivo:
- Dar significado a escrituras como a + b = c, a + b + c = d, a - b = c.
- Asegurar un cierto control sobre las reglas sintácticas de las escrituras matemáticas, que pueden favorecer la construcción de nuevas estrategias de cálculo.
Dentro
de la sustracción los contextos derivados de la noción de distancia
permiten manejar dos propiedades de la diferencia que son muy útiles
para el desarrollo de algunas técnicas informales de cálculo.
- Propiedad triangular
188
200
305
200-188
305-200
Esto
se traduce en cálculos como éstos:
305 – 188 =(305 –
200) + (200 -188) = 105 + 12 = 117
Es
como restar en dos veces quitando al minuendo un número del que
restar más fácilmente el sustraendo
- Invarianza por traslación
295
300
572 577
572
– 295
577-
300
Esto
permite cálculos como:
572 -295 =
(572 + 5) – (295 + 5) = 577 – 300 = 277
Todas
las actividades deben evolucionar aprovechando las características
de nuestro sistema de numeración. Casi todos los procesos que
desarrollan los algoritmos de cálculo están justificados por las
propiedades de nuestro sistema de numeración
En
la técnica de la sustracción las dificultades aumentan debido a que
la llevada debe permanecer más tiempo en la memoria de trabajo. Si
la sustracción exige una doble llevada
(503
– 195), las dificultades pueden desaconsejar su uso en algunos
casos.
Encontramos
otros algoritmos que pueden evitar estos errores
- Técnica árabe
Al
igual que con la adición, si comenzamos por la izquierda la llevada
no necesitar estar apenas tiempo en la memoria de trabajo, por lo que
la posibilidad de error disminuye. Cuando la cifra del sustraendo es
mayor que del minuendo, el proceso es el mismo que en nuestra técnica
usual (13 – 6 3n lugar de 3-6), pero la llevada se resuelve
disminuyendo en una unidad la cifra obtenida de la unidad anterior.
- Técnica de las descomposiciones previas.
Este
algoritmo transforma previamente las cifras del minuendo que van a
necesitar de las unidades superiores, (El 2 de las unidades se
transforma en 12, disminuyendo en una unidad la cifra de las decenas)
De esta manera, el valor de las distintas posiciones y los cambios
entre las unidades se utilizan de manera explícita, lo que podrá
ayudar a producir menos errores.
En
definitiva se trata de hacer aflorar todas las propiedades que
«esconden» las técnicas algorítmicas en su automatización,
Posibilitan que el alumno parta de técnicas «propias», menos
económicas, para que progresivamente vaya mejorándolas, es la mejor
manera de aprender significativamente los algoritmos del cálculo.
Además permitimos que cada alumno encuentre la técnica que mejor se
adapte a sus necesidades y posibilidades cognitivas.
De
igual modo que en el caso de la suma, podemos abordar formas de
resolver diferencias mentalemente.
b.-
El aprendizaje ordenado de la suma de diferentes números de dígitos
- Restar números de dos dígitos, menos números de dos dígitos
Una
buena técnica para hacer este tipo de restas vendrá dada por la
descomposición del sustraendo en dos partes.
Por
ejemplo: 67 – 42
Hacemos
este proceso mental: 67 – (40 + 2)
Mentalmente
llegaremos al 67 – 40 = 27
Y
quitamos otro 2: 27 – 2 = 25
Si
nos encontramos con restas como: 77 – 39 podríamos usar dos tipos
de estrategias y elegir la que nos resulte más fácil:77 – (30 +
9) o bien 77 – (40 – 1)
- 77 – (30 + 9) ; 77 – 30 = 47; 47 – 9 = 38
- 77 – (40 + 1); 77 – 40 = 37; 37 + 1 = 38
- Restar números de tres dígitos menos números de dos dígitos.
Seguimos
usando las mismas técnicas que tienen como finalidad simplificar el
sustraendo.
Por
ejemplo: 736 – 62
736
– 62 = 736 – (60+2): Ahora podemos restar 736 – 60 = 676 que lo
hemos podido conseguir restando 73 – 6 =67, u manteniendo el 6, o
sea 676 y 676 – 2 = 674
- Restar números de tres dígitos menos números de tres dígitos.
Continuamos
con la misma técnica
766
– 244
766
– 244 = 766 – (200 + 40 + 4) Y, seguidamente, vamos realizando
las restas parciales:
766
– 200 = 566; 566 – 40 = 526; 526 – 4 = 522
Si
la cantidad que se sustrae está próxima a la centena, todavía hay
un camino más fácil:
567
– 298 = 567 – (300 – 2); 567 – 300 = 267; 267 + 2 = 269
- Buscar el complemento.
Es
un juego mental para hacerlo en ratos tranquilos
Encontrar
el complementario a 100
El
complementario a 100 de 82 es 18 porque 100 – 82 = 15
El
complementario a 100 de 64 es 36, porque 100 – 64 = 36
Los
errores más frecuentes que cometen los niños al realizar los
algoritmos son los
siguientes:
a)
De colocación de los números.
Justifican los números a derecha en vez de hacerlo a
izquierda
o no hacen coincidir las columnas de las cifras del primer número
con las columnas
del
segundo.
b)
De orden de obtención
de los hechos numéricos básicos.
Empiezan a sumar o restar por la columna de la izquierda y avanzan
hacia la derecha. Este error viene favorecido por la
tradición
de enseñar primero el algoritmo sin llevadas, dejando la
introducción de las llevadas
para
una segunda fase.
c)
De obtención de los
hechos numéricos básicos.
Se equivocan en los resultados de la tabla de sumar o restar.
d)
De resta de la cifra
menor de la mayor.
Restan la cifra menor de la mayor sin fijarse si
corresponde
al minuendo o al sustraendo.
e)
De colocación de un
cero. Cuando la cifra
del minuendo es menor que la cifra del
sustraendo
ponen como resultado el número cero.
f)
f)
De lugar vacío.
Ante un lugar vacío, no completan la operación u olvidan la
llevada.
g)
De olvido de la
llevada. No incorporan
la llevada a la columna siguiente.
h)
De escritura del
resultado completo.
Cuando al operar una columna obtienen un número de dos cifras lo
escriben completo en el resultado.
Desarrollar
las técnicas de cálculo escrito y mental es indispensable, pero el
papel de las calculadoras de bolsillo simples no se debe descuidar en
estos primeros niveles del aprendizaje matemático. Parece difícil
evitar el encuentro con estas herramientas que han hecho su aparición
en casi todos los hogares. En lugar de ver en ellas un enemigo de las
técnicas de cálculo mental o escrito, sería preferible tratar de
hacer de la calculadora un aliado que puede ser beneficioso.
En
primer lugar, después de una fase de descubrimiento del teclado del
aparato y de sus comandos, se toma conciencia de que el formalismo
que se utiliza durantes los cálculos escritos
es también una herramienta de comunicación con la máquina que no
“comprende” sino escrituras correctas.
Mientras
que el funcionamiento de la calculadora se domina al nivel de los
cálculos de sumas, se puede convertir en una herramienta que permita
al niño verificar la validez de un cálculo y de tener una autonomía
mayor en su aprendizaje de las diferentes técnicas de cálculo.
Contrariamente a lo que se podría pensar, esto no le quitará el
compromiso de aprender a calcular. Además, se pueden organizar
concursos en la clase sobre cálculos simples para mostrar que un
alumno que domine bien el cálculo mental es capaz, en muchos casos,
de calcular más deprisa que la máquina, que depende de la habilidad
manual de su operario. Por otra parte, durante la resolución de
ciertos problemas, si el objetivo es trabajar sobre la relación
entre la situación descrita por el enunciado y la elección de las
operaciones a realizar, se podrá autorizar el uso de la calculadora
para permitir a los alumnos consagrarse enteramente a su tarea de
reflexión.
De
igual modo, se pueden hacer ejercicios de investigación con ayuda de
la calculadora, lo que puede favorecer el descubrimiento de ciertas
relaciones entre los números al estar liberado del aspecto
fastidioso de las largas series de cálculos y de tanteos que harían
imposible el ejercicio, como ocurre en este caso:
- Encontrar tres enteros sucesivos cuya suma sea igual a 48.
Se
pueden abordar algunas cuestiones sobre el orden de magnitud de un
resultado, cuestión importante y delicada, que también se puede
abordar bajo la forma de juego como el siguiente:
- Si sumo 19, 23 y 18, ¿se obtiene un resultado mayor que 50? Verificalo.
Problemas
como los siguientes: 35 + ? = 73; o 35 + ? = 28 (sin solución en N),
pueden también ser abordados y conducir, después de una fase de
investigación suficiente y frecuentemente muy activa, a
descubrimientos insospechados.
Cuestiones
como la siguiente:
- “Teclear 7, a continuación, sin pulsar la tecla de borrar, hacer que aparezca en la pantalla 17 y explicar cómo se logra”, son también ejercicios excelentes sobre la numeración, que la herramienta transforma en sesión activa y dinámica para todos los alumnos.
Como
conclusión podemos decir que la calculadora tiene de hecho su lugar
desde los ciclos iniciales de primaria, bien como útil de
auto-evaluación de ciertos cálculos, bien como herramienta que
permite una reflexión a partir de los cálculos.
Ejercicios:
1. Empleando la función constante de la calculadora realiza las siguientes actividades
a) Cuenta
de uno en uno, desde 0 hasta 50
b) Cuenta
de 2 en 2 desde 0 hasta 80
c) Cuenta
de 7 en 7 desde 0 a 91
d) Cuenta
hacia atrás de 6 en 6 desde 60 hasta 0; anota el número 6 restado.
e) Cuenta
hacia atrás de 3 en 3 desde 75 hasta 0; anota el número de 3
restado
f) Cuenta
hacia atrás de uno en uno desde 25 hasta 0
2.Calcula 273 - 129 sin usar la tecla de restar
3.Calcula 273 + 129 sin usar la tecla de sumar
Entre
los materiales para trabajar la adición y la sustracción destacamos
los siguientes:
- Ábacos (Plano, horizontal, vertical)
- Material multibase
- Recta numérica
- Regletas de Cuisenaire
- Máquinas cuantitativas
- Lotos de sumas y restas
- Dominós
- Barajas de cartas.