martes, 23 de octubre de 2012

el cálculo en la enseñanza primaria

Tema3: El cálculo en la enseñanza Primaria. La adición y la sustracción.
1.- Introducción. – 2.- Contar y calcular.- 3.- La transición de lo informal a lo formal en las operaciones. 4.- Adición de números naturales. 5.-La sustracción de números naturales 6.- El campo conceptual de las estructuras aditivas.- 7.- El significado de las operaciones. Los problemas aditivos y sustractivos. 8.- La enseñanza de los algoritmos de la adición. 9.- La enseñanza de los algoritmos de la sustracción. 10.- Errores en la ejecución de algoritmos escritos de suma y resta. 11.-
Uso de la calculadora en la solución de problemas aditivos. 12.- Materiales para trabajar la adición y la sustracción.

Los siguientes ejercicios aparecen en libros de E. Primaria, indica qué contenidos se trabajan y a qué nivel o niveles pueden corresponder
1


2


















3













4

Escribe en columnas y haz las sumas:
a) 36 + 22 b) 307+33 c) 402 + 19


Escribe en columnas y efectúa las restas:

a) 48 -25 b) 378 – 72 c) 54 -8



5





















6

Mi abuelo tiene 68 años y mi madre tiene 36 años menos, ¿qué edad tiene mi madre?

7
Busca los sumandos que faltan:

a) 35 + 60 = 60 +…… b) …. + 325 = 325 + 416

8

Inventa una suma y una resta que den como resultado 1 centena de millar:

- - - - - - - - - - -
+ - - - - - - - - - - -

9
Forma parejas que sumen la cantidad
indicada en la casilla coloreada

10
Patricia mide 15 cm. más que su hermano Pedro y 5 cm. menos que su hermano Juan.
¿Qué diferencia hay entre la altura de Pedro y Juan?


11
Completar la suma y la resta “con huecos” siguientes:
a) (3 _ 5) + ( _ 5 _ ) = 764
b) (_ _ 5) – (45_ )=346






En nuestra sociedad, ordinariamente, se identifica el cálculo con los conocimientos matemáticos. El desarrollo de las habilidades de cálculo es muy importante desde el punto que uno de los grandes objetivos de la enseñanza elemental de las matemáticas es el de enseñar a resolver problemas. Y el cálculo es una de las grandes herramientas que nos ofrecen las matemáticas para ese fin.

Por otra parte, aprendizaje de los procedimientos de cálculo tiene mucho que ver con el desarrollo de la Inteligencia Lógico-numérica. Entendiendo por inteligencia lógico numérica como la habilidad para entender y trabajar con números, es decir con lógica

También hemos de prestar atención al aprendizaje de más de un algoritmo de cálculo, que llevará a una mejor comprensión y utilización de las operaciones.












Contar y calcular son maneras distintas de establecer relaciones entre cantidades.

Contar es establecer una relación entre elementos de una colección y palabras-número. Cuando contamos no lo hacemos con un solo propósito, sino que se hace con varios sentidos. Algunos de ellos son:
  • comparar,
  • ordenar,
  • igualar,
  • sumar y
  • comunicar

El proceso de contar, según hemos visto, es complejo ya que requiere:
  1. conocer la serie numérica o parte de ella,
  2. establecer la relación biunívoca, uno a uno. entre los elementos a contar y las palabras-número,
  3. identificar el último término enunciado como representante de la cantidad

Calcular es establecer una relación directa entre cantidades, sin pasar por la construcción de colecciones, cuyos elementos se cuentan.

Establecer relaciones entre cantidades a través del cálculo requiere mayores niveles de abstracción porque exige separarse del apoyo concreto de las colecciones utilizando formas numéricas con cierto grado de simbolización.

Existen diversas formas de calcular que nos permiten obtener los resultados deseados:
  1. cálculo pensado, que no utiliza algoritmos
  2. cálculo sistemático o algorítmico
  3. cálculo probabilístico, que no es un cálculo exacto.

Por eso, cuando hablamos de técnicas de cálculo, no hemos de pensar sólo en los algoritmos que, por supuesto han de aprender los alumnos, hemos de pensar también en técnicas artesanales, en lo que hemos dado en llamar, la cuenta de la vieja, que dan significado a las operaciones y nos ayudan al cálculo pensado, mental o escrito.

Hay que tener en cuenta que cada técnica de cálculo ha de hacer uso de otros conocimientos de cálculo previos:
  1. en primer lugar el aprendizaje de las tablas de las operaciones. Porque estos resultados de operaciones se han de reproducir con cierta rapidez, para que las técnicas se puedan ejecutar de manera automática. Ahora bien, tendremos que sacar partido al aprendizaje de las tablas, dotándolo de significado para el alumno.

  1. También deberá aprender los algoritmos del cálculo, y el por qué tiene que hacer uso de esas técnicas que aprende; si no, hará un aprendizaje vacío de significado y de dudosa utilidad.


Hemos de intentar proveer al alumno de los conocimientos necesarios para que pueda decidir y ejecutar de forma autónoma el tipo de técnica que mejor se adapte a la situación particular que le exija la realización de un cálculo. Para ello, se deberá trabajar en la escuela los distintos tipos de cálculo: escrito, mental y con calculadora.








Las acciones que los niños, en su vida cotidiana, llevan a cabo y que son susceptibles de ser matematizadas tienen una dimensión de matemática llamada INFORMAL. A la hora de iniciar a los alumnos en las operaciones básicas de cálculo, el primer problema que se debe plantear es llegar desde las experiencias informales a las formalizaciones.
Hay que tener presente la diferencia cualitativa que existe entre una acción concreta, rica en acontecimientos para el niño, desarrollándose en el tiempo y en el espacio, y la traducción simbólica de esa acción en signos despojados de todo valor afectivo. Por ello, la operación escrita tiene que ser una traducción de hechos con sentido, y se debe preparar siguiendo unos escalones o grados que permitan su completa comprensión.
Para el tratamiento de lo informal y su paso a lo formal debemos tener en cuenta lo siguiente:
  • Es conveniente desarrollar una base sólida de comprensión informal antes de introducir símbolos escritos.
  • Es preciso que se estructuren amplias experiencias informales de cálculo. Ello va a requerir un periodo largo de tiempo que se debe prever.
  • La organización de la enseñanza formal debe realizarse de manera tal que aproveche al máximo el conocimiento informal que tienen los niños de las cuestiones de que se trate.
  • Se debe ayudar a los niños a que vean el simbolismo formal no como algo distinto y separado de sus experiencias, sino como una expresión explícita de sus conocimientos informales.




La adición de números naturales es una ley de composición interna, es decir, es una aplicación de NxN en N. Es decir, la suma de dos números naturales es otro número natural.
NxN N
(a,b) a + b = c

Propiedades

1. Asociativa: La adición de números naturales es asociativa, es decir:
x, y, z N (x + y) + z = x + (y + z)

2. Conmutativa: La adición de números naturales es conmutativa, es decir:
x, y N x + y = y + x

3. Elemento neutro: El elemento neutro de la adición de números naturales es el cero:
x N x + 0 = x

4. Propiedad cancelativa o de simplificación: a, b, c N : a + c = b + c a = b

Nota: Como consecuencia de la propiedad asociativa y conmutativa, al sumar tres números naturales se tiene:
(a + b) + c = a + (b + c) = (b + c) + a = b + (c + a) =….

Lo que nos indica que en cualquier forma y orden en que se realicen las operaciones, el resultado es siempre el mismo. Por tanto no hay que especificar con paréntesis el orden en que hay que realizar las operaciones. Esto mismo es válido para cualquier número de sumandos.








Sustracción de dos números naturales, llamados respectivamente minuendo(m) sustraendo(s), es una operación que tiene por objeto hallar un tercer número, llamado diferencia(d), que sumado con el sustraendo, dé el minuendo, o sea:
m -s = d m = s + d m - d = s




Estas son las equivalencias fundamentales de la sustracción. Dada una cualquiera de las tres igualdades, pueden hallarse inmediatamente las otras dos. De estas equivalencias se deducen las reglas de transposición de términos en una expresión numérica: “Un término que está sumando en un miembro, pasa al otro restando; y un término que está en un miembro restando pasa sumando”.

La sustracción es la operación inversa de la adición.

Propiedades

1. No es ley de composición interna:La sustracción solo está definida en N cuando el minuendo es mayor o igual que el sustraendo, por tanto no es una ley de composición interna.

2. Propiedad uniforme: a = a´
a - b = a´- b´
b = b´

Es decir, si restamos miembro a miembro dos igualdades entre números naturales obtenemos otra igualdad.

2. No es conmutativa: Si a – b = d N, b – a no existe en el conjunto de los números naturales. (a b)

3. No es asociativa: Lo vamos a comprobar con un contraejemplo: ( 12 – 5) – 3 = 4
12 – ( 5 – 3) = 10

4. a N a -a =0

5. Si aumentamos el minuendo en una cantidad a, la diferencia queda aumentada en esa misma cantidad.
m - s = d (m + a) - s = d + a

6. Si al minuendo lo disminuimos en una cantidad a, la diferencia queda reducida en esa misma cantidad a.

m - s = d (m - a ) - s = d - a

7. Si aumentamos el sustraendo en una cantidad a, la diferencia queda reducida en esa misma cantidad a.
m - s = d m - (s + a) = d - a

8. Si disminuimos el sustraendo en una cantidad a, la diferencia aumenta en esa misma cantidad.
m - s = d m - ( s - a) = d + a


9. Si se suma o se resta al minuendo y al sustraendo una misma cantidad a la diferencia no varía.
m - s = d (m + a) - (s + a) = d
(m - a) - (s - a) = d

  • En esta última propiedad se basa el método “austríaco” para la resta.
  • Esta propiedad es muy útil en el cálculo mental, ya que permite redondear el sustraendo, lo que hace el cálculo más simple.
Ejemplo: 35-18 = (35+2) –(18+2) = 37-20=17.






Definición: Se considera un campo conceptual como un «conjunto de situaciones problema cuyo tratamiento implica conceptos, procedimientos y representaciones simbólicas en estrecha conexión»

En el campo conceptual de las estructuras aditivas vamos a estudiar problemas aritméticos adaptados al modelo : a+b=c. Se trata de problemas que cubren relaciones muy diferentes, desde las más simples y elementales, con las que inicialmente se encuentran los niños de 5 a 7 años, a las más complejas, cuya comprensión no la alcanzan hasta los 14 o 15 años.

Se clasifican ahora las relaciones de base, a partir de las cuales es posible engendrar los problemas de adición y sustracción de la aritmética ordinaria, que forman parte del campo conceptual de las estructuras aditivas.

Las que siguen son las categorías que propone Vergnaud (1991) para analizar los problemas aditivos y sustractivos

1.- Composición de dos medidas en una tercera
Pablo tiene 6 canicas de vidrio y 8 de acero. En total 14 canicas.
Ecuación: 6+8=14
2.- Transformación (cuantificada) de una medida inicial en una medida final.

Pablo tenía 7 canicas antes de comenzar a jugar. Ganó cuatro canicas. Ahora tienen 11
Ecuación: 7+(+4)=11
3.- Relación (cuantificada) de comparación entre dos medidas.
Pablo tiene 8 canicas. Jaime 5 menos; entonces tiene 3.
Ecuación: 8+(-5)=3
4.- Composición de dos transformaciones


Pablo ganó 6 canicas ayer y hoy perdió 9. En total perdió

Ecuación: +9+(-3)=(+6)



5.- Transformación de una relación

Pablo le debía 6 canicas a Enrique, le devuelve 4. Sólo le debe 2.

Ecuación: (-6)+(+4)=(-2)
6.- Composición de dos relaciones
Pablo le debe 6 canicas a Enrique, pero Enrique le debe 4. Pablo le debe entonces sólo 2 canicas a Enrique.
Ecuación: (-6)+(+4)=(-2)







Si preguntamos a cualquiera “qué es sumar”, de una u otra manera, es fácil que se nos: “juntar y contar”.
Pues bien, si juntamos y contamos, lo que estamos evitando precisamente es sumar.
La operación no puede concebirse sólo para describir una situación, como hemos dicho más arriba, es una herramienta que sirve para anticiparse a la realidad en varios contextos. Por tanto, para que el niño adquiera el significado conceptual de las operaciones se habrá de construir a partir de una propuesta de diferentes contextos, en los que la operación cobre su verdadero sentido.
Ejemplo:
«Antonio tiene seis años más que Manuel. Si Manuel tiene 5 años, ¿cuál es la edad de Antonio?»
Aunque tengamos que sumar para poder obtener el dato que se nos pide, no podemos decir que hemos juntado años.
Cuando estudiamos un problema hemos de tener en cuenta dos aspectos.
  • la estructura matemática o relacional de la resolución y
  • las características de la formulación del enunciado.
Nos fijamos ahora en el primer aspecto, para la suma.

Lo primero a tener en cuenta es que la adición y la sustracción no pueden ser tratadas separadamente, pues las dos están incluidas en el mismo campo conceptual, por lo que las situaciones que componen el concepto de adición y sustracción, son las mismas.






  • Tipo I. Problemas de composición de medidas.
Surgen de la relación base 1ª: Composición de dos medidas en una tercera
Son problemas en los que dos medidas se combinan para obtener una tercera:
Plantean una situación como ésta: Tenemos una bolsa con 13(m1) caramelos de fresa y 8(m2) de limón. Tenemos por tanto 21(M) caramelos.
Esta situación da lugar a dos subtipos de problemas: según se pregunte por el total o por uno de los componentes.

«En un aparcamiento hay coches rojos y azules. Si hay 13 rojos u 6 azules, ¿cuántos coches hay»
Es el tipo de problema que plantea la adición por primera vez a los niños, desde la misma construcción del número natural.
«De los 23 alaumnos de mi clase, 9 son niños. ¿Cuántas niñas hay?
La situación es muy similar a la anterior y no presenta dificultades para entenderla. Sin embargo su solución canónica hace uso de una sustracción. Ahora bien, la similitud con el problema anterior permite «prestar» su estrategia de resolución adaptándola, presentando una adición «con huecos»

Entendemos por solución canónica la que conlleva los procesos más económicos, lo que no quiere decir que sean los más simples desde el punto de vista cognitivo.

  • Tipo II. Problemas de transformación de medidas.
Son problemas en los que se plantean situaciones en las que una medida m se modifica en el transcurso de un tiempo. Llamamos mi a la medida inicial y mf a la medida final
Ejemplo: La caja de bombones tenía 28 bombones. Nos hemos comido 12, quedan 16.

Esta situación da lugar a seis subtipos de problemas diferentes, teniendo en cuenta que se puede preguntar por la , la o bien el tiempo t, y éste considerado hacia delante y hacia atrás.


Incógnita
Estado final: mt
Incógnita
Transformación: t
Incógnita
Estado inicial: mi


t+
Ej. 1
Eva va a hacer 27 fotocopias. Cuando va a empezar, el contador de la máquina, marca 335. ¿Cuánto marcará el contador al terminar?
Ej. 2
Enrique tiene 75 globos. Se ha comprado una bolsa y ahora tiene 96. ¿Cuántos globos tiene la bolsa?
Ej. 3
El último censo de mi pueblo asegura que somos 3.546 habitantes. Si ha crecido 348 en el último año, ¿cuántos habitantes tenía hace un año?


t-
Ej. 4
Yo tenía 25 canicas en mi colección y he regalado 12. ¿Cuánto tengo ahora en mi colección?
Ej. 5
Manuel acaba de jugar a las canicas. Tenía 24 antes de jugar y ahora tiene 18. ¿Cuántas ha perdido)
Ej. 6
José ha sacado de su cuenta corriente 350 euros para realizar unas compras. Si después le quedan 1.625 euros en la cuenta, ¿cuántos tenía antes?

La dificultad de estos problemas puede venir de una parte del tamaño de los números y de la familiaridad que el alumno tenga con el contexto, pero, a su vez, del propio subtipo. El razonamiento puesto en juego en los tipos de los Ejercicios 1 y 4 es más sencillo que el de los restantes.

  • Tipo III. Problemas de comparación de medidas.
Son problemas en los que se establece una comparación , en términos aditivos de las cantidades.
Ejemplo: Tengo 15 años y mi hermana 3 menos. Ella tiene 12 años
Esta situación también da lugar a 6 subtipos de problemas, según preguntemos por
  • una comparación positiva o negativa
  • la cantidad más grande o más pequeña
  • por la comparación



Incógnita
mp
Incógnita
Comparación: c
Incógnita
mg


c+
Ej. 1
Mi hermana que es muy generosa decidió regalarme 5 euros cuando abría mi hucha.. Cuando conté el dinero tenía 65 euros. ¿Cuánto tenía yo en mi hucha
Ej. 2
Ana ha gastado 35 céntimos en golosinas e Irene 15 céntimos. ¿Cuántos más ha gastado Ana que Irene?
Ej. 3
María Juega a los cromos en el recreo. Cuando salió al recreo tenía 37 cromos y ha ganado 13. ¿Cuántos cromos tiene al regresar a clase?


c-
Ej. 4
Cuando abrí la bolsa de caramelos que me habían regalado, le di 6 a mi hermano yo me quedé con 24. ¿Cuántos caramelos tenía la bolsa?
Ej. 5
Juan es amante de la natación y entrena todos los días. El mes pasado tardaba 20 segundos en hacer 50 metros. Este mes tarda 112 segundos en hacer 50 metros. ¿Cuánto segundos menos tarda este mes?
Ej. 6
José tiene 52 caramelos, 8 menos que María ¿Cuántos tiene María?

  • Tipo IV. Problemas de composición de transformaciones.
Son problemas en los que dos transformaciones se componen en una tercera resultante de las otrs dos.
Ejemplo: Pedro tiene una hucha con dinero. Esta mañana sacó 18 euros para comprar un libro. Por la tarde metió 15 euros que le dio su tía. El balance final del día es una disminución de 3 euros en la hucha.
Esta situación da lugar a muchos subtipos de problemas, de pendiendo de que la incógnita sea:
  • una transformación o la resultante
  • el signo de las transformaciones
  • que las dos transformaciones sean del mismo o de distinto signo.
Muchos de los problemas aditivos resultan de la combinación en un único enunciado de varios tipos de problemas. Para resolverlos se han de descomponer los procesos del enunciado en los problemas simples que lo integran.





Tradicionalmente el aprendizaje del cálculo aditivo y sustractivo se realiza de manera separada. Esto puede tener ventajas en el comienzo del aprendizaje para resolver algún tipo de problemas, pero no es muy ventajoso desde el punto de vista conceptual.






Las primeras técnicas que el niño usa para obtener resultados de problemas aditivos están relacionadas con el conteo. Esta técnica aparece ya en la construcción del número. Estas técnicas son:

  • sobreconteo. Es la primera técnica para sumar. Consiste en ir contando a partir de un número tantas veces como indique el otro que queremos sumar. Así para obtener 8+4, contamos «9, 10, 11, 12», (cuatro más a partir del 8)

  • deconteo. Es la técnica para restar, conteo similar al anterior pero contando hacia atrás: para calcular 8 – 3 contamos «7,6,5»,

  • doble conteo o sobreconteo. Es una técnica más compleja y consiste en llevar dos conteos paralelos. Para obtener 13 + 9 contamos 14(1), 15(2), 16(3), .....,20(7), 21(8) y 22(9). Contamos a partir de 14 y en paralelo contamos a partir del 14 y en paralelo contamos del 1 al 9. El número que enunciemos junto al 9 será el resultado buscado.


Es muy interesante tener en cuenta los consejos de Alberto Coto, campeón mundial en cálculo mental y que nos dice por qué calcular bien es tan importante. Se han llevado a cabo estudios psicológicos con alumnos , cuya conclusión pone de relieve que los que tienen una mayor agilidad mental con los números también establecerán combinaciones y relaciones numérico-matemáticas cada vez más complejas.
Un buen dominio del cálculo aportará, por otra parte, una mayor seguridad psicológica y conduce a una toma de decisiones más rápida y eficaz, fortaleciendo la mente de manera notable. Las técnicas sencillas para realizar los cálculos mentales o cálculo pensado, nos proporcionan agilidad mental y fortalecen las conexiones neuronales, ayudándonos a tener una buena rapidez de pensamiento y a tomar las mejores decisiones en cada momento.

Por tanto, los algoritmos de cálculo, puesto que son automatismos, deben trabajarse en la Primaria, pero junto a otras técnicas artesanales o informales a fin de obtener diversos automatismos mentales que permitan resolver de manera autónoma los problemas.





Básicamente todas las técnicas de Cálculo tienen un esquema común, disponen de un repertorio de resultados previo, y, cuando van a obtener un resultado que no está en dicho repertorio, transforman los números hasta que pueden utilizar el repertorio.

Así, para realizar la adición 35+41 según nuestra técnica usual, se necesita conocer previamente los resultados 3+4=7 y 5+1=6.

De esta manera procedemos:

35 30+5 30+5
+ + +
41 40+1 40+1
70+6
3+4 =7 5+1=6

De aquí que las actividades que se propongan en el aula estén encaminadas a establecer, aumentar, y estructurar un repertorio de resultados aditivos y. por supuesto, que este repertorio es el mismo para los casos de sustracción.

Este repertorio es el conocimiento clásico de las tablas y es bueno que aprenda las tablas, no sólo por lo que ya se ha dicho, sino porque el ejercicio de la memoria es muy importante, imprescindible.

Lo que no es bueno es que al alumno memorice las tablas únicamente en la forma tradicional. Es bueno que aprenda las tablas, también en otras formas, para las que, además, tiene que usar las estructuras de los números y la íntima relación que existe entre la adición y la sustracción,

Hay que recomendar al alumno que cuando mire las tablas lea y calcule a la vez, puesto que la práctica es lo que hace que se queden grabadas en la mente. Además es muy importante que los alumnos jueguen con los números; aunque no estén viendo las tablas se las han de imaginar y hacer los cálculos.





Si siempre presentamos las tablas en un sentido, y únicamente las memorizan así, fácilmente tendrá problemas.


Tabla del 1


Tabla del 2

Tabla del 3

Tabla del 4

Tabla del 5

Tabla del 6

Tabla del 7

Tabla del 8

Tabla del 9

1+0=1
1+1=2
1+2=3
1+3=4
1+4=5
1+5=6
1+6=7
1+7=8
1+8=9
1+9=10


2+0=2
2+1=3
2+2=4
2+3=5
2+4=6
2+5=7
2+6=8
2+7=9
2+8=10
2*9=11

3+0=3
3+1=4
3+2=5
3+3=6
3+4=7
3+5=8
3+6=9
3+7=10
3+8=11
3+9=12

4+0=4
4+1=5
4+2=6
4+3=7
4+4=8
4+5=9
4+6=10
4+7=11
4+8=12
4+9=13

5+0=5
5+1=6
5+2=7
5+3=8
5+4=9
5+5=10
5+6=11
5+7=12
5+8=13
5+9=14

6+0=6
6+1=7
6+2=8
6+3=9
6+4=10
6+5=11
6+6=12
6+7=13
6+8=14
6+9=15

7+0=7
7+1=8
7+2=9
7+3=10
7+4=11
7+5=12
7+6=13
7+7=14
7+8=15
7+9=16

8+0=8
8+1=9
8+2=10
8+3=11
8+4=12
8+5=13
8+6=14
8+7=15
8+8=16
8+9=17

9+0=9
9+1=10
9+2=11
9+3=12
9+4=13
9+5=14
9+6=15
9+7=16
9+8=17
9+9=18


Pero es muy conveniente manejar tablas que consisten en buscar todas aquellas combinaciones que nos den sumadas ese número.


8

11

13

15

17

10

9

14

0+8
1+7
2+6
3+5
4+4
5+3
6+2
7+1
8+0

0+11
1+10
2+9
3+8
4+7
5+6
6+5
7+4
8+3
9+2
10+1
11+0


0+13
1+12
2+11
3+10
4+9
5+8
6+7
7+6
8+5
9+4
10+3
11+2
12+1
13+0


0+15
1+14
2+13
3+12
4+11
5+10
6+9
7+8
8+7
9+6
10+5
11+4
12+3
13+2
14+1
15+0


0+17
1+16
2+15
3+14
4+13
5+12
6+11
7+10
8+9
9+8
10+7
11+6
12+5
13+4
14+3
15+2
16+1
17+0

0+10
1+9
2+8
3+7
4+6
5+5
6+4
7+3
8+2
9+1
10+0


0+9
1+8
2+7
3+6
4+5
5+4
6+3
7+2
8+1
9+0

0+14
1+13
2+12
3+11
4+10
4+9
6+8
7+7
8+6
9+5
10+4
11+3
12+2
13+1
14+0

De paso, en estas tablas, su puede visualizar la propiedad conmutativa de la suma de números naturales.





Sería conveniente que antes de acometer el aprendizaje de la tabla, o en grado de simultaneidad graduada, trabajar la descomposición de números.

Para el aprendizaje racional de la tabla proponemos seguir el siguiente proceso:

1º Cada niño debe tener una tabla de doble entrada vacía y debe haber otra de gran tamaño en la clase. Esta tabla se irá rellenando con las sumas aprendidas. Las sumas deben ir realizándose en un entorno de resolución de problemas.

2º La propiedad conmutativa, descubierta utilizando materiales manipulativos, reduce a la mitad la construcción de la tabla.

3º Se completan las sumas en las que uno de los sumandos es cero.

4º La suma de uno se basa en la progresión numérica: “el siguiente de...”

5º A continuación se puede completar la familia de diez. Tenemos ya casi la mitad de la tabla.

6º Tras la familia del diez conviene iniciar la familia del nueve, ya que sumar nueve es como sumar diez, pero quitando uno.

7º La familia del dos es fácil, pues recuerdan el contar “salteado"

8º A continuación se introduce la familia de los dobles. La suma de dobles se les da bien a los niños.

9º La familia de los vecinos de los dobles son diez combinaciones formada por todas las parejas cuya diferencia es uno. La estrategia es muy sencilla, el resultado es el doble del número mayor, pero quitándole uno.

10º La familia del número misterioso abarca ocho combinaciones, en las cuales los números que las componen se diferencian en dos . La solución es el doble del número que está en medio de los dos.

11º La familia de los complementarios a diez , solo quedan dos combinaciones 7 + 3 y 3 + 7 . Pero es conveniente introducir esta estrategia como camino alternativo en otras combinaciones.

12º Quedan diez combinaciones para las que se pueden utilizar distintas estrategias. Por ejemplo: 8 + 5 = (8 + 2) + 3







a.- Descomposición de la decena, y centena
Es especialmente útil la adquisición del repertorio correspondiente a las descomposiciones alternativas de 10 y 5. Al ser decimal nuestro sistema de numeración, conocer los complementos hasta 10, va a facilitar la obtención de determinados resultados.

8+7 = 8+2+5 = 10+5 = 15

Igualmente el trabajo con complementos de decenas, centenas u otras unidades completas permite automatizar un repertorio que será de gran utilidad en en otros tipos de cálculo, así como en situaciones de cálculo aproximado








Es obvio que las técnicas de cálculo están íntimamente ligadas al aprendizaje de los sistemas de numeración. Las actividades que requieran agrupamientos recursivos decimales, o bien con ábacos, son utilizables para el aprendizaje de las técnicas de adición y sustracción. Gran parte de las dificultades que genera la comprensión de estas técnicas son debidas al mal aprendizaje del significado del valor de posición de las cifras.

Por ello se deben plantear situaciones en las que se trabajen técnicas como ésta:

48 + 76 = 40 +8 + 70 + 6 = 40 + 70 + 8 +6 = 110 + 14 =

100 +10 + 10 + 4 = 100 + 20 + 4 = 124

Estos cálculos cuando se alargan se pueden esquematizar también, si ello facilita su comprensión:
48 + 76


40 + 8 + 70 + 6


110 + 14


100 + 10 + 10 +4


100 + 20 + 4

Es interesante, pues, hacer actividades sobre el repertorio de sumas que los alumnos conocen, pero con múltiplos de 10. Se trata de poner de manifiesto la facilidad de operar con números como 10, 20 50, 70, 200, 400, 500, de modo que el alumno pueda razonar:

Si 6 + 7 = 13, entonces 50 + 70 = 130


b.- El aprendizaje ordenado de la suma de diferentes números de dígitos
En estos casos tiene grandes ventajas la suma de izquierda a derecha, aunque habitualmente aprendamos a sumar de derecha a izquierda.

Las ventajas de hacer las sumas de izquierda a derecha son fundamentalmente dos:

  1. Por un lado, no tenemos que llevar en cuenta el resultado de las unidades.

  1. Y, aunque no diésemos el resultado correcto, siempre será mucho más fácil dar una aproximación si lo hacemos de izquierda a derecha, puesto que hacer aproximaciones de los resultados es importante muchas veces.

    • Dos dígitos + dos dígitos.
Lo vemos con ejemplos:
55 + 44 = 55 + (40+4) = (55+40) + 4 = 95 + 4 = 99

72 + 45 = 72 + (40+5) = (72+40) + 5 = 112 + 5 = 117

Esto es más fácil de hacerlo mentalmente que escribirlo. El pensamiento lo que hace es, en el caso de 55 + 44 Nos hemos quedado con 55 y descomponemos 44 en 40 + 4
55+40 = 95 ; 95+4 = 99

    • Tres dígitos + dos dígitos
Sumamos 433 + 56
Nos quedamos con 433 y descomponemos 56 en 50 + 6.
Ahora sumamos 433 + 50 = 483 y seguidamente sumamos 483 + 6= 489

    • Tres dígitos + tres dígitos
Hacemos de forma análoga, descomponiendo uno de los números una vez más.
Sumamos 628 + 337
Nos quedamos con 628 y descomponemos 337 = 300 + 30 + 7 y seguidamente hacemos las sumas parciales: 628 + 300 = 928; y seguimos 928 + 30 = 958; y finalizamos
958 + 7 = 967

De paso esto nos da pie para proponer a los alumnos ejercicios de este tipo con la finalidad de familiarizarlo con las propiedades de las operaciones; en este caso, las propiedades conmutativas y asociativas de la suma de números naturales.

    • Otros buenos ejercicios para hacerlos mentalmente.
  • Sumar números consecutivos
Una gimnasia mental muy efectiva es sumar números consecutivos:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + .. que van dando los siguientes resultados:
1 – 3 – 6 – 10 – 15 – 21 – 28 – 36 – 45 – 55 – 66 – 78 – 91 – 105 - ….

  • Doblar números mentalmente
Pensamos un número cualquiera lo doblamos y, consecutivamente doblamos los resultados:
3 – 6 – 12 – 24 – 48 – 96 – 192 – 384 – 768 – 1536 – 3072 - ….

Observemos que siempre se trata de transformar los cálculos en otros más sencillos, de cuyos resultamos disponemos.





Aunque, según hemos dicho, desde el punto de vista matemático, sumar no es exactamente “juntar y contar”, es cierto que sumar, unir, agregar, es algo que está en la naturaleza misma y en nuestro quehacer cotidiano, Así que se han de proponer a los alumnos actividades en las que las escrituras aditivas y, en su caso, las sustractivas, sirvan para discutir o simbolizar la realidad, y para que sirvan, a su vez, como instrumentos para pensar. Con esto se pretende un doble objetivo:

    • Dar significado a escrituras como a + b = c, a + b + c = d, a - b = c.
    • Asegurar un cierto control sobre las reglas sintácticas de las escrituras matemáticas, que pueden favorecer la construcción de nuevas estrategias de cálculo.





Dentro de la sustracción los contextos derivados de la noción de distancia permiten manejar dos propiedades de la diferencia que son muy útiles para el desarrollo de algunas técnicas informales de cálculo.
    • Propiedad triangular


188 200 305



200-188 305-200

Esto se traduce en cálculos como éstos:

305 – 188 =(305 – 200) + (200 -188) = 105 + 12 = 117

Es como restar en dos veces quitando al minuendo un número del que restar más fácilmente el sustraendo

    • Invarianza por traslación

295 300 572 577



572 – 295


577- 300





Esto permite cálculos como:
572 -295 = (572 + 5) – (295 + 5) = 577 – 300 = 277

Todas las actividades deben evolucionar aprovechando las características de nuestro sistema de numeración. Casi todos los procesos que desarrollan los algoritmos de cálculo están justificados por las propiedades de nuestro sistema de numeración

En la técnica de la sustracción las dificultades aumentan debido a que la llevada debe permanecer más tiempo en la memoria de trabajo. Si la sustracción exige una doble llevada
(503 – 195), las dificultades pueden desaconsejar su uso en algunos casos.

Encontramos otros algoritmos que pueden evitar estos errores




    • Técnica árabe
















Al igual que con la adición, si comenzamos por la izquierda la llevada no necesitar estar apenas tiempo en la memoria de trabajo, por lo que la posibilidad de error disminuye. Cuando la cifra del sustraendo es mayor que del minuendo, el proceso es el mismo que en nuestra técnica usual (13 – 6 3n lugar de 3-6), pero la llevada se resuelve disminuyendo en una unidad la cifra obtenida de la unidad anterior.

    • Técnica de las descomposiciones previas.


Este algoritmo transforma previamente las cifras del minuendo que van a necesitar de las unidades superiores, (El 2 de las unidades se transforma en 12, disminuyendo en una unidad la cifra de las decenas) De esta manera, el valor de las distintas posiciones y los cambios entre las unidades se utilizan de manera explícita, lo que podrá ayudar a producir menos errores.

En definitiva se trata de hacer aflorar todas las propiedades que «esconden» las técnicas algorítmicas en su automatización, Posibilitan que el alumno parta de técnicas «propias», menos económicas, para que progresivamente vaya mejorándolas, es la mejor manera de aprender significativamente los algoritmos del cálculo. Además permitimos que cada alumno encuentre la técnica que mejor se adapte a sus necesidades y posibilidades cognitivas.

De igual modo que en el caso de la suma, podemos abordar formas de resolver diferencias mentalemente.

b.- El aprendizaje ordenado de la suma de diferentes números de dígitos
    • Restar números de dos dígitos, menos números de dos dígitos
Una buena técnica para hacer este tipo de restas vendrá dada por la descomposición del sustraendo en dos partes.

Por ejemplo: 67 – 42
Hacemos este proceso mental: 67 – (40 + 2)
Mentalmente llegaremos al 67 – 40 = 27
Y quitamos otro 2: 27 – 2 = 25

Si nos encontramos con restas como: 77 – 39 podríamos usar dos tipos de estrategias y elegir la que nos resulte más fácil:77 – (30 + 9) o bien 77 – (40 – 1)

  1. 77 – (30 + 9) ; 77 – 30 = 47; 47 – 9 = 38

  1. 77 – (40 + 1); 77 – 40 = 37; 37 + 1 = 38

    • Restar números de tres dígitos menos números de dos dígitos.
Seguimos usando las mismas técnicas que tienen como finalidad simplificar el sustraendo.

Por ejemplo: 736 – 62
736 – 62 = 736 – (60+2): Ahora podemos restar 736 – 60 = 676 que lo hemos podido conseguir restando 73 – 6 =67, u manteniendo el 6, o sea 676 y 676 – 2 = 674

    • Restar números de tres dígitos menos números de tres dígitos.
Continuamos con la misma técnica

766 – 244
766 – 244 = 766 – (200 + 40 + 4) Y, seguidamente, vamos realizando las restas parciales:
766 – 200 = 566; 566 – 40 = 526; 526 – 4 = 522

Si la cantidad que se sustrae está próxima a la centena, todavía hay un camino más fácil:

567 – 298 = 567 – (300 – 2); 567 – 300 = 267; 267 + 2 = 269


    • Buscar el complemento.
Es un juego mental para hacerlo en ratos tranquilos

Encontrar el complementario a 100

El complementario a 100 de 82 es 18 porque 100 – 82 = 15

El complementario a 100 de 64 es 36, porque 100 – 64 = 36





Los errores más frecuentes que cometen los niños al realizar los algoritmos son los
siguientes:

a) De colocación de los números. Justifican los números a derecha en vez de hacerlo a
izquierda o no hacen coincidir las columnas de las cifras del primer número con las columnas
del segundo.


b) De orden de obtención de los hechos numéricos básicos. Empiezan a sumar o restar por la columna de la izquierda y avanzan hacia la derecha. Este error viene favorecido por la
tradición de enseñar primero el algoritmo sin llevadas, dejando la introducción de las llevadas
para una segunda fase.

c) De obtención de los hechos numéricos básicos. Se equivocan en los resultados de la tabla de sumar o restar.

d) De resta de la cifra menor de la mayor. Restan la cifra menor de la mayor sin fijarse si
corresponde al minuendo o al sustraendo.








e) De colocación de un cero. Cuando la cifra del minuendo es menor que la cifra del
sustraendo ponen como resultado el número cero.

f)
f) De lugar vacío. Ante un lugar vacío, no completan la operación u olvidan la llevada.


g) De olvido de la llevada. No incorporan la llevada a la columna siguiente.

h) De escritura del resultado completo. Cuando al operar una columna obtienen un número de dos cifras lo escriben completo en el resultado.




Desarrollar las técnicas de cálculo escrito y mental es indispensable, pero el papel de las calculadoras de bolsillo simples no se debe descuidar en estos primeros niveles del aprendizaje matemático. Parece difícil evitar el encuentro con estas herramientas que han hecho su aparición en casi todos los hogares. En lugar de ver en ellas un enemigo de las técnicas de cálculo mental o escrito, sería preferible tratar de hacer de la calculadora un aliado que puede ser beneficioso.

En primer lugar, después de una fase de descubrimiento del teclado del aparato y de sus comandos, se toma conciencia de que el formalismo que se utiliza durantes los cálculos escritos es también una herramienta de comunicación con la máquina que no “comprende” sino escrituras correctas.

Mientras que el funcionamiento de la calculadora se domina al nivel de los cálculos de sumas, se puede convertir en una herramienta que permita al niño verificar la validez de un cálculo y de tener una autonomía mayor en su aprendizaje de las diferentes técnicas de cálculo. Contrariamente a lo que se podría pensar, esto no le quitará el compromiso de aprender a calcular. Además, se pueden organizar concursos en la clase sobre cálculos simples para mostrar que un alumno que domine bien el cálculo mental es capaz, en muchos casos, de calcular más deprisa que la máquina, que depende de la habilidad manual de su operario. Por otra parte, durante la resolución de ciertos problemas, si el objetivo es trabajar sobre la relación entre la situación descrita por el enunciado y la elección de las operaciones a realizar, se podrá autorizar el uso de la calculadora para permitir a los alumnos consagrarse enteramente a su tarea de reflexión.

De igual modo, se pueden hacer ejercicios de investigación con ayuda de la calculadora, lo que puede favorecer el descubrimiento de ciertas relaciones entre los números al estar liberado del aspecto fastidioso de las largas series de cálculos y de tanteos que harían imposible el ejercicio, como ocurre en este caso:

  • Encontrar tres enteros sucesivos cuya suma sea igual a 48.

Se pueden abordar algunas cuestiones sobre el orden de magnitud de un resultado, cuestión importante y delicada, que también se puede abordar bajo la forma de juego como el siguiente:
  • Si sumo 19, 23 y 18, ¿se obtiene un resultado mayor que 50? Verificalo.
Problemas como los siguientes: 35 + ? = 73; o 35 + ? = 28 (sin solución en N), pueden también ser abordados y conducir, después de una fase de investigación suficiente y frecuentemente muy activa, a descubrimientos insospechados.

Cuestiones como la siguiente:
  • Teclear 7, a continuación, sin pulsar la tecla de borrar, hacer que aparezca en la pantalla 17 y explicar cómo se logra”, son también ejercicios excelentes sobre la numeración, que la herramienta transforma en sesión activa y dinámica para todos los alumnos.

Como conclusión podemos decir que la calculadora tiene de hecho su lugar desde los ciclos iniciales de primaria, bien como útil de auto-evaluación de ciertos cálculos, bien como herramienta que permite una reflexión a partir de los cálculos.

Ejercicios:

1. Empleando la función constante de la calculadora realiza las siguientes actividades

a) Cuenta de uno en uno, desde 0 hasta 50
b) Cuenta de 2 en 2 desde 0 hasta 80
c) Cuenta de 7 en 7 desde 0 a 91
d) Cuenta hacia atrás de 6 en 6 desde 60 hasta 0; anota el número 6 restado.
e) Cuenta hacia atrás de 3 en 3 desde 75 hasta 0; anota el número de 3 restado
f) Cuenta hacia atrás de uno en uno desde 25 hasta 0

2.Calcula 273 - 129 sin usar la tecla de restar

3.Calcula 273 + 129 sin usar la tecla de sumar





Entre los materiales para trabajar la adición y la sustracción destacamos los siguientes:
  • Ábacos (Plano, horizontal, vertical)
  • Material multibase
  • Recta numérica
  • Regletas de Cuisenaire
  • Máquinas cuantitativas
  • Lotos de sumas y restas
  • Dominós
  • Barajas de cartas.