aritmética

1. Génesis del número, primera fase: aprender a agrupar objetos

La actividad matemática más inmediata es la de contar. Tan acostumbrados estamos a ella que no le damos importancia, pero, si pensamos un poco, veremos que la cosa no es tan simple: lo primero que hace falta es que el contador sea capaz de reunir una colección de objetos e identificarlos como miembros de un mismo grupo que los unifica. Esta unificación es fácil si se trata de un rebaño de ovejas o de los miembros de una tribu, pero no lo es tanto si las fronteras son menos nítidas: reunir 2 peras y 3 manzanas en la categoría común de 5 frutas exige tener primero, en algún lugar del cerebro, la idea más o menos abstracta de fruta. Esto no le resultaba nada fácil al hombre primitivo por su forma peculiar de percibir el mundo: las cosas que ve ahí fuera todavía no han tomado forma en una mente que las ordena y, sobre todo, las separa, las clasifica. No son objetos que están fuera de él, sino que están absorbidos en su propia vida, él es parte de ellas y ellas son partes de él. No se sitúa, como nosotros, ante las cosas en actitud de observador, sino que él mismo es parte integrante de ellas.

Superando todas estas dificultades mentales, las ideas unificadoras se van formando a lo largo de los siglos en la mente del hombre a medida que éste se va acostumbrando a encontrar aspectos comunes a los objetos del mundo y agruparlos adecuadamente en clases.

1. Génesis del número, segunda fase: emparejar objetos y agruparlos

Una vez que el contador tiene claro, conscientemente o no, el principio unificador de su grupo de objetos, lo pone en contacto visual con los dedos de sus manos y ya puede comunicar a su vecino cuántas cebras ha visto pastando en el ríos. Claro que, en realidad, lo que le dice es:están pastando estas cebras, mientras le muestra, por ejemplo, el pulgar y el índice de su mano izquierda. Nosotros llamamos dos a esa combinación de dedos u otra parecida , como el índice y el corazón. Con el tiempo los grupos de dos objetos (parejas), los de tres (tríos o ternas), o incluso cuatro pasaron al lenguaje cotidiano.

Pero esto que para nosotros es tan cotidiano no es tan fácil hacerlo: la pareja puede surgir de la identidad de dos objetos intercambiables (como dos peras) o de la dualidad, en la cual los dos objetos no son iguales, sino complementarios (hombre-mujer, día-noche) o simétricos (las dos manos). Y hace falta mucha audacia para atreverse a usar la misma palabra dos para referirse a las dos manos que no son iguales (y menos mal: sería un lío tener dos manos derechas o dos izquierdas) y dos ovejas (objetos perfectamente intercambiables y frecuentemente indistinguibles). Con todo, el ser humano va superando estas dificultades y llega a la siguiente fase.

3. Génesis del número, tercera fase: crear palabras para los números

El paso siguiente es asociar palabras específicas (los llamados numerales: dos, tres, cuatro…) a grupos de dedos. O, lo que es lo mismo, a aquellos grupos de objetos de muy diversas características cuya única propiedad común es la de ser coordinables o emparejables entre sí, es decir susceptibles de ser puestos en correspondencia biunívoca con otros: usaremos la misma palabra tres para referirnos a tres peras o tres manzanas porque podemos emparejar cada pera con su manzana correspondiente, sin que nos sobre ni nos falte ninguna pera ni manzana. Y lo específico del tres, que lo distingue del dos, es que, al intentar coordinar tres peras con dos manzanas, siempre nos queda una pera sin emparejar. No nos hace falta emparejar físicamente las peras y las manzanas, basta hacerlo mentalmente, gracias a la costumbre, asentada a lo largo de los siglos, de relacionar visualmente la colección de objetos con los dedos de las manos. En nuestro lenguaje, diríamos que las tres peras son, efectivamente, tres porque estamos acostumbrados a asociarlas a los tres primeros dedos de la mano.

Pero ¿cuántos números? La mayor o menor longitud de la lista de números que usa cada pueblo , es decir, de las palabras que han inventado para ellos, depende de la naturaleza de su economía. ¿Para qué quiere un cazador o recolector de frutos contar más allá de dos o tres? Le bastaría con decir muchos. Pero un ganadero ha de poder contar hasta cien o más. Unas investigaciones realizadas a finales del siglo XIX con pueblos primitivos de África y Oceanía arrojaron resultados muy sorprendentes. Muchas lenguas aborígenes australianas carecían de ordinales, y sus cardinales no llegaban más allá de cuatro, llamando mucho a las cantidades mayores. Otras tribus, a poca distancia de las anteriores, usaban cardinales hasta 15 o 20, además de ordinales, sin razón aparente que explique tales diferencias entre pueblos muy parecidos en todo lo demás.

3. Génesis del número, cuartafase: escribir los números

Pasando de lo hablado a lo escrito, para registrar (o sea, escribir) estos numerales, lo más natural es hacer marcas o incisiones en algún material duradero como madera o hueso, una marca para cada objeto del grupo en cuestión, como simulando los dedos de la mano.

El registro conocido más antiguo es un hueso de lobo hallado en 1937 en la región de Moravia, en la República Checa, que tiene unos treinta mil años de antigüedad. Presenta 55 muescas agrupadas en series de cinco. Estos agrupamientos de cinco en cinco pueden servir simplemente de ayuda visual, como se hace en nuestras reglas actuales, con sus marcas pequeña de milímetros, las más largas centímetros y las marcas intermedias de cinco milímetros.

5. Números cardinales y ordinales

Diremos que dos conjuntos A y B son coordinables (o equipotentes) cuando entre sus elementos puede establecerse una correspondencia biunívoca, es decir, de tal modo que a cada elemento de A le podemos hacer corresponder uno y sólo uno de B y recíprocamente.

Llamaremos sección de la serie de los números a todo conjunto parcial de ellos caracterizado por las siguientes propiedades:

1. Contiene el número uno.

2. Contiene el último elemento

3. Contiene el siguiente de cada elemento, excepto del último

Todo conjunto finito es coordinable con una sección de las serie natural de los números. En estas coordinación a cada elemento del conjunto le corresponde un número natural, denominado número ordinal correspondiente a dicho elemento. Establecida la coordinación, a los números; 1, 2, 3, 4, 5... se les dan los nombres de primero, segundo, tercero, cuarto, quinto...

El proceso seguido para asignar a cada elemento de un conjunto finito su número ordinal se llama operación de contar.

Número cardinal de un conjunto A es el ordinal correspondiente a su último elemento. Si n es el cardinal del conjunto, ordinariamente suele decirse que A consta de n elementos.

Dos conjuntos que son coordinables entre sí, lo son con una misma sección de la serie natural y, por tanto, tienen el mismo cardinal: todos los conjuntos coordinables entre sí tienen el mismo cardinal.

Principio fundamental de la invariancia del número: El número cardinal de un conjunto es independiente de la ordenación adoptada para contar sus elementos

a e i o u



6. Funciones del número en los niveles de Primaria

Según dijimos al principio, para que el alumno pueda ir adquiriendo diferenciadamente, las funciones del número debemos proponerle actividades adecuadas, a los niveles de Primaria. Pues bien, en este nivel, el alumno usa los números para estas funciones:

medir una colección: que es asignar a un número a una colección de objetos.

producir una colección: que es la operación inversa a la anterior, es decir formar una colección de objetos a la que pueda asignársele un número dado.

ordenar una colección: que es asignar una determinada posición a los objetos de una colección.

7. Niveles de dominio de la secuencia numérica

Alrededor de los 6 años el niño debe dominar la sucesión hasta 100 correctamente. Para ello debe lograr el nivel más complejo del uso de la secuencia numérica. K. Fuson y J. Hall (1983) distinguen cinco niveles distintos en el dominio de la sucesión:

1) Nivel cuerda: “ La sucesión de términos se produce comenzando en 1; los términos no están bien diferenciados”.

Los nombres de los números son recitados por evocación. El sonido de lo que está diciendo trae encadenados los sonidos siguientes. No hay diferencia ni fronteras entre un número y otro. Un niño que se encuentra en este nivel no puede empezar a contar. Es el nivel más elemental y en el que suelen ser iniciados los niños en sus casas a edades tempranas.

Ejemplo de actividades indicadas para este nivel:-Recitado de la secuencia numérica por el propio valor del recitado. – Canciones que estimulen el aprendizaje rítmico y lingüístico de la secuencia.

2) Nivel cadena irrompible: “ La sucesión de números se produce comenzando desde 1; los términos están bien diferenciados”. Hay poca diferencia con el nivel anterior. El alumno, para empezar a contar debe comenzar en el uno, pero sabe diferenciar bien los números, sabiendo dónde acaba uno y dónde empieza otro. Llegando el alumno a este nivel, puede comenzar las tareas de contar.

Ejemplo de actividades indicadas para este nivel: - Construir un conjunto con un número determinado de elementos. – Encontrar el elemento n-ésimo de una serie.

3) Nivel cadena rompible: “La sucesión puede comenzar a partir del término a.” Supone un salto notable con respecto al nivel anterior. Aquí el alumno es capaz de “romper” la cadena, comenzando a contar a partir de cualquier número que se le indique.

Actividades indicadas para este nivel son todas las que conllevan las siguientes situaciones: - Indicar cuál es el siguiente de un número menor que 10. – Continuar una decena.- Dar el siguiente de un número con cambio de decena.

4) Nivel cadena numerable: “La sucesión consiste en contar n términos a partir de a ; hay que dar otro número b, como respuesta”. Este nivel supone un dominio notable de la sucesión numérica. El niño es capaz comenzando desde cualquier número, de contar un número determinado de eslabones y detenerse en el número que corresponda. El niño que, por ejemplo, es capaz de contar cinco números a partir del ocho y decir en qué número ha terminado, ha alcanzado este nivel. Desde este dominio se afrontan con bastantes garantías la realización de las operaciones básicas del cálculo.

Actividades:

a) Actividades con la situación “contar desde a hasta b”: - con a y b en la misma decena. –Con a y b en distintas decenas.

b) Actividades con la situación “contar desde a n términos”: -con a y n menores que 10 (con y sin cambio de decena). – a entre 10 y 20 y n menor que 10.(con y sin cambio de decena) y así sucesivamente.

c) Contar de 10 en 10: - a coincide con las decenas. –a menor que 10. –a entre 10 y 20 y así sucesivamente.

d) Con n = 11, n = 12…

5) Nivel cadena bidireccional: Es el máximo dominio al que se puede llegar. En esencia, supone las destrezas del nivel anterior aplicadas hacia arriba o hacia abajo, e incrementando notablemente la velocidad. Contar desde 33 doce números hacia abajo en, aproximadamente, el mismo tiempo que hacia arriba, y contestar exactamente el número que alcanza, es una tarea que define al alumno que ha alcanzado este nivel.

Ejemplo de actividades indicadas para este nivel: - Estudio de todos los casos que se pueden dar entre a y b y entre a y n. – anterior y posterior de un número a. -comparación de a y b.

8. El número y la numeración

En matemáticas, el número y la numeración son objetos bien distintos, puesto que el número no depende del modo como lo designemos.

Ej. El número que designamos por tres es el mismo cuando lo escribimos 3, o bien III

Ahora bien, en los primeros años no puede aprenderse el número independientemente de la numeración. Será necesario crear situaciones que nos permitan describir el funcionamiento adecuado del número junto con la numeración.

Para que el alumno pueda ir adquiriendo diferenciadamente, las funciones del número y de la numeración debemos proponerle actividades adecuadas, a los niveles de Primaria.

Con frecuencia, los niños asocian la escritura del número al número mismo, confundiéndolos. Las nociones de número y numeración están íntimamente ligadas, pero son diferentes.

La numeración es la acción de enunciar y escribir los signos con los que denotamos los números (fases tercera y cuarta); y sirve para expresar y dar sentido a los números.

Trabajar con el número, implica la necesidad de recurrir a su representación oral o escrita. Cuando el niño viene a la escuela ya ha tenido relaciones con la numeración: ha entrado en relación con las páginas numeradas de sus cuentos, los elementos que intervienen en estas narraciones, las camisetas de los futbolistas, las listas de precios, los calendarios, las matrículas... y en esta etapa la escritura del número la asocia al número mismo. de manera que, con frecuencia confunden una con la otra.

Pero, tenemos que distinguir el número de su representación. El nueve puede de notarse de diversas maneras. Veamos:

9, IX, «nueve» , IIIIIIIII, etc. todas estas designaciones representan por igual al mismo número con las mismas propiedades que son:

cardinal de una colección

número impar

múltiplo de tres

sucesor de ocho

anterior al diez

divisible por 3

cuadrado perfecto

9. Principios sobre los que se sustentan los sistemas de numeración posicional basados en el principio del valor relativo

Principios sobre los que se sustentan los sistemas de numeración posicional basados en el principio del valor relativo:

i. Se toma como base un número n mayor que uno y se toman n símbolos denominados cifras, para representar el cero y los números menores que la

base. En nuestro sistema decimal, estos símbolos son: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Se llaman significativas las cifras prescindiendo del cero.

ii. El número uno recibe el nombre de unidad simple o de orden cero. Cada n unidades de un cierto orden constituyen una unidad de orden superior. En el sistema de base diez, estas unidades reciben el nombre de decenas, centenas, unidades de millar, etc.

iii. Los números mayores que la base se expresan escribiendo varias cifras unas a continuación de las otras. La primera cifra de la derecha representa las unidades simples que contiene el número; la segunda, las unidades de primer orden contenidas en el mismo; la tercera las de segundo orden... y así sucesivamente. Este principio constituye la esencia del valor relativo de las cifras que representan el número; una cifra colocada a la izquierda de otra representa unidades del orden inmediatamente superior al de ésta. Así, cada cifra tiene un valor, dependiendo del lugar que ocupa. El cero representa la ausencia de unidades de un orden determinado.

Ejemplo: Supongamos que nuestra base es base 4 y que los símbolos elegidos son , , ,  y queremos representar el número 22.

Elegimos un representante de la clase del número 22

el número sería 

Los símbolos que se suelen utilizar son los primeros números naturales, en este caso sería: 0, 1, 2, 3 y el número 22 sería el 112 en base 4. Esto se expresa: 112(4

Teorema fundamental de los sistemas de numeración

“Todo número natural x se puede expresar de forma única mediante una expresión polinómica de la forma: x = a0 n0 + a1 n1 + a2 n2 + a3 n3 + ... + ar nr donde la variable n es la base del sistema, y los coeficientes del polinomio son estrictamente menores que n.

X = arar-1….a2a1 (n expresión del número x en base n. 

3er orden	2º orden	1er orden
1	1	2

10. Sistema Decimal de numeración

La base de nuestro sistema de numeración es 10, por eso se llama decimal. En este sistema los distintos órdenes son las potencias sucesivas de 10 que reciben nombres especiales: unidad, decena, centena, unidad de millar, decena de millar, etc... lo que facilita la lectura de números de muchas cifras. Para hacerlo basta con dividirlos de derecha a izquierda en períodos de seis cifras que se señalan con los subíndices 1, 2, 3, ...

4.3572509.6401120.796

A continuación se lee empezando por la izquierda, diciendo “mil” donde hay punto o coma, y “millones”, billones”, “trillones”,... donde hay 1,2,3, .... El número anterior se lee:

Cuatro mil trescientos cincuenta y siete billones, quinientos nueve mil seiscientos cuarenta millones

El sistema decimal tiene las siguientes características:

a) La base del sistema es diez y se escribe 10. (Principio de agrupación)

b) Todo número es suma de potencias de la base (Principio multiplicativo cifrado:

3 2 1 0 4839 4100081003109 410 810 310 910   

c) Adopta un símbolo específico para cada uno de los números inferiores a la base llamados cifras: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

d) Una cifra a la izquierda de otra representa potencias de la base inmediatamente superiores

e) Cada cifra tiene dos valores, uno según la forma y otro según el lugar que ocupa, de modo que la primera de la derecha expresa unidades simples, la segunda unidades de segundo orden; la tercera de tercer orden; etc (Principio posicional)

f) Cada unidad de un orden equivale a diez unidades del orden inmediatamente inferior.

g) Para expresar la carencia de unidades de cualquier orden se emplea el cero: 0

Principio análogos hay que usar para el manejo de Sistemas de numeración de base distinta a la base diez. 0rden de las unidades	Nombre de la unidad	Símbolo	Valor
1º	Unidad	U	100 = 1
2º	Decena	D	101
3º	Centena	C	102
4º	Unidad de millar	UM	103
5º	Decena de millar	DM	104
6º	Centena de millar	CM	105
7º	Unidad de millón	M	106
8º	Decena de millón	DM	107
9º	Centena de millón	CM	108
10º	Millar de millón (Millardo)	MM	109
11º	Decena de millar de millón	DMM	1010
12º	Centena de millar de millón.	CMM	1011
13º	Billón	M	1012

11. Ventajas y utilidades del sistema de numeración decimal

Entre otras cosas, el Sistema de Numeración decimal hace posible:

Generar la representación de todos los números naturales a partir de sólo diez cifras: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. en el caso de la numeración que usamos nosotros. Pero que vemos enseguida que hay otras maneras de representar los números en diferentes épocas y culturas.

Comparar dos números naturales cualesquiera: para comparar 78 y 243 es más económico indicar que 234 se escribe con tres cifras y que 78 se escribe con dos, que construir una colección de 234 objetos y ponerlos en correspondencia con una colección de 78 objetos

Operar y calcular: el cálculo oral y escrito reposa sobre la capacidad de descomponer y recomponer los números de diversas formas, de transformar las escrituras cifradas y, para ello, es necesario conocer perfectamente las propiedades de nuestros sistema de numeración. Los algoritmos de las cuatro operaciones aritméticas básicas y sus técnicas operatorias se han construido a través de los años apoyándose en las escritura posicional de los números

Reconocimiento de de las propiedades de los números: la escritura de los números permite deducir directamente muchas propiedades de los números. Por ejemplo: los criterios de divisibilidad

Designar oralmente: el sistema de numeración oral se ha construido a partir del sistema de numeración escrito, pero articulando las palabras por medio de principios aditivos y multiplicativos:

18=10+8 DIEZ Y OCHO; 32=30+2 TREINTA Y DOS; 

8364=8x1000 +5 x100 + 6x10 + 4 ocho mil quinientos sesenta y cuatro 

La yuxtaposición de palabras supone siempre una operación aritmética, operación que, en algunos casos, es una suma (mil cinco, significa 1000+5) y, en otros casos, una multiplicación (cinco mil, significa 5x1000)

Hay muchas palabras que «esconden» el sentido aditivo: once, doce, trece..., otras esconden también el principio multiplicativo: veinte, treinta, cuarenta..., mientras que otras lo explican: ochocientos, tres mil, seiscientos mil, etc..

El cero, en la numeración hablada, no aparece para indicar el lugar de un orden que está ausente, así, para 853 007 no decimos: ochocientos cincuenta y tres mil, cero cientos, cero diez, siete.

Estas irregularidades son fruto de una numeración que, en su origen, fue hablada y ligada a usos eminentemente prácticos, no sustentados en un fundamento lógico, origen de la numeración escrita. 28 DIDÁCTICA DE LA ARITMÉTICA. Tema 2. “Número natural. Sistemas de numeración. Introducción a los números enteros.”

Designar gráficamente: la numeración escrita es al mismo tiempo más regular y más hermética que la numeración hablada. Es más regular porque la suma y la multiplicación se aplican siempre de la misma manera. se multiplica cada cifra por la potencia de la base a la que corresponde y se suman los productos resultantes de esa multiplicación:

5 827= 5x103 + 8x102 + 20x10 + 7

Es más hermética porque en ella no hay ningún rastro de las operaciones aritméticas involucradas y porque, a diferencia de lo que ocurre con la numeración hablada, las potencias de la base no se representan a través de signos particulares sino que sólo pueden inferirse a partir de la posición que ocupan las cifras. Cuanto más económico es un sistema de numeración, menos transparente resulta. Un sistema como el egipcio es casi una traducción de las acciones de contar, agrupar y reagrupar; fue necesario ocultar estas acciones para encontrar un sistema cuya economía es indiscutible.

12. Funciones de la numeración en los niveles de Primaria

La numeración es el medio que nos permite expresar la medida de una colección:

R R R R R 5 FLORES

Con este medio de expresión podemos resolver problemas en los que sea necesario:

verificar la conservación de una colección: dada una única colección en dos momentos diferentes o en dos posiciones diferentes, determinar si se trata de la misma colección.

administrar una colección: que es dar cuenta de si ha habido cambios en una colección en el transcurso del tiempo. Se trata de relatar los cambios de forma adecuada. El que tiene a su cargo ovejas: tiene que saber al cabo del año cuántas han nacido, cuántas han muerto, cuántas ha vendido.... El que posee un comercio etc.

recordar una cantidad: recordar en un instante t2 una cantidad que conocíamos o bien de la que disponíamos en un tiempo anterior t1 (t1<t2)

recordar una posición: permite evocar el lugar de un objeto en una sucesión ordenada.

reproducir una cantidad: construir una colección coordinable con una dada, en presencia de esta última.

comparar dos colecciones, A y B: desde el punto de vista de la cantidad de objetos que tienen cada una.

repartir una cantidad: llevar a cabo la división o reparto de una colección de objetos en colecciones equipotentes (o no)

anticipar resultados de una operación: se trata de anticipar resultados de una acción concreta, es decir se trata de construir una solución que nos pueda dispensar incluso de la manipulación de los objetos reales, bien sea porque los objetos no están disponibles, bien porque son demasiados numerosos y sería costosísima la manipulación. La designación del número nos permite también tener la posibilidad de anticipar resultados en el caso de situaciones no presentes o incluso no realizadas, pero de las que disponemos de cierta informaciones

Basándonos en las funciones anteriores, señalamos, para los primeros cursos de escolaridad, algunos grandes tipos de problemas que permiten dar sentido a los procedimientos numéricos y a las designaciones orales o escritas de los números utilizados. En referencia a estos tipos de problemas podremos construir diferentes situaciones didácticas para proponerlas a los alumnos.