series y patrones

RECURSOS Y MATERIALES DIDÁCTICOS PARA NUMERACIÓN Y ARITMÉTICA EN EDUCACIÓN PRIMARIA

Series y patrones (numeración y aritmética)

Tablas con números y operaciones

• Continuar series numéricas que verifican patrones sencillos: uno más, dos menos, de dos en dos, etc.
• Patrones: series de números y de figuras siguiendo un patrón por repetición o por alternancia: la serie de números naturales puede llevar asociada una seriación de figuras que se repiten, de manera que los pares tienen una figura, los que acaban en cero otra, etc. Se pedirá que se continue o que digan las figuras que les corresponden a determinados números (NCTM).
• Tablas de relaciones funcionales sencillas: un cochecito vale dos euros, dos valen cuatro euros, tres valen seis euros, etc. Se forma una tabla y se analiza la evolución del precio total en relación con las cantidades (NCTM).
• Modelos para resolver problemas: mesas y sillas en la clase. Cada mesa tiene . . . sillas; si hay cuatro mesas, ¿cuántas sillas hacen falta?; se pueden plantear muchas variantes.
• Análisis del cambio: reflexión sobre los cambios en temperaturas que se producen a lo largo de una semana; cambios en cuanto a la lluvia; predecir en base a lo que ha ocurrido recientemente: parece que hoy también va a . . .

Palillos, cerillas, monedas y botones (Numeración y operaciones aritméticas)

Descripción del material

Los Palillos o cerillas constituyen un material diversificado, de madera o de plástico, que se presenta de las siguientes formas:

• colección de palillos de igual longitud y color;
• colección de palillos de cerillas de diferentes colores;
• colección de palillos del mismo color y distinta longitud (la composición más común es la de palillos largos y cortos, siendo la longitud de los largos doble de la de los cortos);
• colección de palillos de distintos colores y longitudes

Se pueden utilizar palillos de dientes con los alumnos más mayores, aunque es conveniente que los palillos sean de punta roma. El origen de este material es muy remoto así como los juegos que con él se pueden realizar.
Las monedas y/o botones constituyen otra modalidad del material que también puede admitir las siguientes variantes, teniendo en cuenta en todos los casos que el tamaño de las monedas y botones debe ser apreciable para las edades que estamos considerando:

• monedas o botones todos iguales;
• monedas o botones de dos o más tamaños o tipos;

Utilidad didáctica

En general, con este material se pueden desarrollar experiencias relacionadas con la geometría, la medida, la numeración y las operaciones aritméticas, la resolución de problemas, el razonamiento y la comunicación. Para los palillos, el tratamiento en clase puede hacerse de manera “ordenada”: estudiar clasificaciones, buscar simetrías, construir secuencias y encontrar regularidades funcionales, analizar las propiedades de los ángulos, hallar el número de intersecciones o de regiones, plantear problemas combinatorios, etc.; o, de manera “espontánea”: siguiendo las pautas e ideas que vayan naciendo de la propia actividad de los alumnos.

Figura 1.- Actividades con palillos ( Santillana ,1993; 3º PRI; p. 89)

Situación en el currículo

La mayoría de las actividades que aparecen para este material en este tema y en los documentos adicionales son para 2 y 3º ciclo Primaria y para Secundaria Obligatoria, incluyéndose también actividades para adultos o para profesores con la finalidad de la comprensión del alcance y las posibilidades del material. La adaptación a los niveles de 3 a 7 años es fácil de realizar sin más que tener en cuenta la simplificación de las tareas, siempre que ello sea posible, o la realización parcial de las mismas. Nosotros incluiremos, no obstante, algunas orientaciones sobre la utilidad del material en los niveles inferiores.

Algunas actividades a título de ejemplo y su interés didáctico específico

Juegos y pasatiempos¹

1.- El juego de Nim: Cada jugador puede quitar, en su turno, una o más cerillas de una sola fila, incluso la fila entera, y gana el que consigue llevarse la última cerilla. Juega varias partidas con tu compañero e intenta encontrar la estrategia que te permita ganar siempre.

2.- Dada una red de triángulos como la de la figura, cada jugador retira por turno un palillo. Con ello desaparece un triángulo - si se retira un palillo del contorno - o desaparecen dos triángulos - si se retira un palillo del interior - o no desaparece ningún triángulo. Gana el jugador que hace desaparecer el último triángulo. Juega varias partidas con tu compañero e intenta encontrar la estrategia que te permita ganar siempre. Utiliza los palillos y juega con tus compañeros

Interés didáctico. Se pretende que el alumno:

• Descubra el aspecto lúdico de las Matemáticas.
• Busque estrategias de resolución de problemas.

3.- Moviendo el menor número posible de cerillas, haz que el perrito, que mira a la derecha, quede mirando a la izquierda. Señala los que cambias y donde los sitúas.

4.- Aquí tienes un pez que nada alegremente hacia la izquierda, ¿cuál es el número mínimo de cerillas que hay que mover para que quede nadando hacia la derecha?.
5.- Con este badil hemos recogido la basura.¿ Cuál es el menor número de cerillas que hay que mover para que la forma del badil se conserve y la basura quede fuera de él?.

6.- Ahora hemos construido una hermosa casita con cerillas pero no nos gusta la orientación, por lo que te pedimos que nos resuelvas el problema: cambia la posición de dos cerillas de forma que aparezca la casa de otro costado.

7.- Moviendo los fósforos de cada una de estas igualdades haz que sean ciertas.

8.- Moviendo un palillo conseguir un cuadrado.

9.- Cambiando cuatro palillos conseguir cuatro rombos.

10.- Suprimiendo dos palillos, conseguir dos cuadrados.

11.- Añadiendo cuatro palillos, conseguir que quede uno.

12.- Quitando cuatro palillos, conseguir cinco cuadrados.

13.- Retirando dos palillos dejar dos triángulos equiláteros.

14.- Cambiando de posición dos palillos, hay que reducir de cinco a cuatro el número de cuadrados de la figura.

15.- Retirar el número mínimo de palillos de forma que se rompa el perímetro de todos los cuadrados(los 16 pequeños, los nueve de orden dos, los cuatro de orden tres y el mayor de orden cuatro).

16.- Se le dan a un amigo dos montoncitos de palillos, uno en la mano izquierda de seis palillos, y otro en la mano derecha de ocho palillos. Se le invita a que los coloque de tal modo que quede solo ocho.

Interés didáctico. Se pretende que el alumno:

• Descubra el aspecto lúdico de las Matemáticas.
• Busque estrategias de resolución de problemas.
• Relacione números y geometría.

17.- En una caja de cerillas se quedaron solos seis fósforos que resultaron ser amantes de la geometría. Para combatir el aburrimiento decidieron salir de la caja y juntarse para formar cuatro triángulos iguales. ¿cómo lo consiguieron?.

18.- Formamos tiras de triángulos equiláteros como indica la figura:

Observa que para formar un triángulo necesitamos tres cerillas; para dos, cinco cerillas; para tres, siete cerillas. Sigue esta secuencia para formar diez triángulos; ¿cuántas cerillas se necesitan?, ¿cuántas se necesitarán para formar n triángulos?. (Nota: para los más pequeños se puede utilizar una tabla y disminuir el número de triángulos).

Pero el número de triángulos ,¿no dependerá de la posición de los triángulos?. En la siguiente figura hemos formado triángulos equiláteros de distinto tamaño:

con tres cerillas se forma un triángulo de lado una cerilla; con nueve cerillas se forman un triángulo de lado dos cerillas, y cuatro de lado una cerilla, por lo que se tienen cinco triángulos. En consecuencia, el problema anterior se ha modificado. Sigue la secuencia hasta formar un triángulo de lado ocho cerillas; ¿cuántas cerillas serían necesarias para formar un triángulo de lado n cerillas?.

Interés didáctico. Se pretende que el alumno:

• Realice conteos.
• Trabaje con seriaciones.
• Busque el término general.
• Descubra estrategias.

19.- Toma un palillo. ¿Qué puedes hacer?.

Toma dos palillos. ¿De cuántas formas los puedes disponer en la mesa?

Toma tres palillos....

Toma n palillos. ¿Cuántas intersecciones se pueden formar? ¿cuántas regiones determinan en el plano?.


¿Cuál es el mayor número de ángulos rectos que se pueden formar con 2,3,4,5,6,7...palillos?






Interés didáctico. Se pretende que el alumno:

• Construya ángulos.
• Experimente con perpendicularidad y paralelismo.
• Clasifique triángulos.
• Compare los ángulos formados al cortar dos rectas paralelas por una secante.
• Descubra técnicas de conteo.
• Busque estrategias de resolución de problemas.

20.- Toma cinco palillos. Construye un cuadrado y coloca el quinto palillo de modo que sus extremos se apoyen sobre dos lados adyacentes del cuadrado. Mueve el quinto palillo. El perímetro y el área parece ser que cambian. ¿Cuándo hay un máximo y un mínimo?. ¿ Cambia la suma de los dos lados más pequeños del triángulo? ¿Cómo cambia?.

Mueve el extremo inferior del quinto palillo desde una esquina del cuadrado a lo largo del lado en varias etapas. ¿Cómo afecta el movimiento al área del triángulo?.

Interés didáctico. Se pretende que el alumno:

• Calcule áreas y perímetros.
• Busque valores máximos y mínimos.

22.- Palillos grandes:
¿ En cuántos puntos pueden cortarse 2, 3, 4, .. palillos?; ¿ Y si suponemos que los palillos son rectas?.
¿Cuántas regiones se puede determinar en el plano con 1,2,3,4,5...palillos? ¿cuál es el mayor número de regiones cerradas?

Interés didáctico. Se pretende que el alumno:

• Diferencie recta y segmento.
• Utilice técnicas de conteo.
• Relacione números y geometría.
• Trabaje de forma intuitiva problemas sencillos de combinatoria.

TAREAS DE INDUCCION

26.- Los alumnos se numeran 1, 2, 3, 4.. Hay un montón de palillos de cinco colores diferentes. Cada alumno coge un palillo: el primero, azul; el segundo, amarillo; El quinto, rojo; el sexto, igual que el primero,... ¿ Qué color corresponde al alumno 8? ¿y al 14?; ¿y al 136?, . . .

¿Cuánto suman los números que llevan los alumnos que han cogido palillos azules o rojos?

Interés didáctico. Se pretende que el alumno:

• Trabaje con múltiplos y divisores.
• Estudie seriaciones.
• Encuentre el término general
• Busque estrategias.
• Relacione números y geometría.

Algunos juegos y problemas con monedas o / y botones

27.- Coloca monedas formando cuadrados, triángulos, rectángulos, etc. Cuenta las monedas y compara los resultados

28.- Forma serpientes de monedas / botones siguiendo varios criterios (grande-pequeña, blanco-rojo-azul, etc.

29.- ¿cuántas monedas harán falta para rodear completamente a otra, siendo todas las monedas iguales?. Imagina, experimenta y prueba y asegura o justifica la respuesta.

30.- Juego del salto de la rana. Dos jugadores con tres monedas diferentes cada uno. Cada jugador coloca sus monedas en fila y enfrente de la fila del otro jugador dejando un espacio vacío en medio. Cada jugador puede hacer dos tipos de movimientos:

- si inmediatamente delante de una de sus monedas hay un hueco libre puede mover esa moneda hacia adelante para ocupar dicho espacio;

- si una de sus monedas tiene delante una moneda del otro jugador y esta, a su vez, tiene un hueco detrás, puede saltar por encima de la moneda del contrincante para ocupar el hueco mencionado.

Se van realizando movimientos por turno hasta que uno de los dos jugadores coloca sus tres monedas en la retaguardia del contrincante.

Información adicional y lecturas complementarias

• Cotarro, M. (1993).- Juegos con monedas y palillos. Recursos para el aula. SUMA, nº 13.
• Problema de monedas: Profesora Vargas-Machuca de Alva. Didáctica de la Matemática. UMA.
• Actividades con cerillas. Narcea-MEC. Material didáctico. 2000
• Actividades con palillos. Narcea-MEC. Material didáctico. 2000
• Hernán, F. (1988).- Actividades con palillos. Recursos en el aula de Matemáticas. Madrid: Síntesis.
• Castro (Ed.) (2001).- Didáctica de la Matemática en la Educación Primaria. Madrid: Síntesis.

1 Extraidos de: Cobarro (1993).- Suma nº 13